Короткое доказательство ВТФ

[bot]

Батороев писал(а):

Уважаемая shwedka, пользуясь случаем, поздравляю Вас с наступающим праздником!

Лучше сказать трудно, оппонент-дама в этой теме - это круто, присоединяюсь.

[shwedka]

bot писал(а):

Батороев писал(а):

Уважаемая shwedka, пользуясь случаем, поздравляю Вас с наступающим праздником!

Лучше сказать трудно, оппонент-дама в этой теме - это круто, присоединяюсь.

И Вам Шпасибо!!

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Уж о теореме косинусов в теме нет у меня.

Нельзя применять при доказательстве?

[shwedka]

Yarkin писал(а):

bot писал(а):

Ну, надо обладать ба-а-льшим воображением, чтобы связать вторую степень, присутствующие в классической формулировке теоремы косинусов с произвольным показателем n, фигурирующем в ВТФ.

Да, эту связь я установил

Цитата:

Нельзя применять при доказательстве?

В доказательстве, конечно, можно. К Вам сказанное не относится. Ваше творчество лежит вне жанра доказательств.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

В доказательстве, конечно, можно. К Вам сказанное не относится.

А я думал, что только ко мне и по совету PAVа открыл новую темую

shwedka писал(а):

Ваше творчество лежит вне жанра доказательств.

Опять ошибся.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

В доказательстве, конечно, можно. К Вам сказанное не относится.

Хочу воспользоваться Вашим разрешением.

shwedka писал(а):

Ваше творчество лежит вне жанра доказательств.

и освоить этот жанр.

[shwedka]

Жду с предвосхищением ужаса. Ну, докажите для начала,
что для любого целого числа $n$, $n^3-n$ делится на 24.

[bot]

Если без каверзы, то пусть для любого нечётного докажет.
Или Вы просто одно слово пропустили?

[TOTAL]

bot писал(а):

Если без каверзы, то пусть для любого нечётного докажет.
Или Вы просто одно слово пропустили?

Да не имеет значения. Для коротко доказавшего ВТФ,

[shwedka]

Поправляюсь,
что для любого целого нечетного числа $n$, $n^3-n$ делится на 24.
Спасибо, коллеги,
а то сижу, проверяю экзамены, синею понемногу. Тут четное с нечетным легче легкого спутать.

[Коровьев]

Ну, пора и мне внести свою лепту в творчество ферманьяков.
Есть тождество:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)]=$
$=[(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]$
Пусть, при целых, взаимно простых и не делящихся на $3$ $x,y,z$ имеем
$x^3+y^3=z^3$
$(x^3-x+y^3-y-z^3+z)$ делится на $3$ тогда и
$(x+y-z)$ - делится на $3$
Из тождества имеем
$3xyz=(x+y-z)[(x+y-z)^2-3(xy-yz-zx)]$
Правая часть делится на $9$, следовательно, одно из чисел $x,y,z,$ делится на $3$, что по условию невозможно.
*****
А вот ещё.
Доказать, что при
$x^3+y^3=z^3$
одно из чисел делится на $7$

[Батороев]

Коровьев писал(а):

*****
А вот ещё.
Доказать, что при
$x^3+y^3=z^3$
одно из чисел делится на $7$

$ (x^3y^3 + 1)^2 - (x^3 + y^3)^2 = (x^6-1)(y^6-1)\equiv 0(mod 7)$,
следовательно,
$ (x^3y^3 + 1)^2 - z^6\equiv 0(mod 7) $

Если $ z $ не делится на $7$, то
$ (x^3y^3 + 1)^2 \equiv 1 (mod 7) $

Отсюда два варианта:
1. $ (x^3y^3 + 1)\equiv 6 (mod 7) $
или
$ x^3y^3\equiv 5 (mod 7) $, что невозможно.

2. $(x^3y^3 + 1)\equiv 1(mod 7) $
или
$ x^3y^3\equiv 0 (mod 7) $,
откуда делаем вывод, что одно из чисел должно делиться на $7$.

Такое док-во можно применить для всех простых $ (2n+1) $.


И кстати, для доказательства деления на 3 одного из чисел равенства
$ x^3 + y^3 = z^3 $
тоже подходит (по основанию 9):

$ (x^3y^3 + 1)^2 - (x^3 + y^3)^2 = (x^6-1)(y^6-1)\equiv 0(mod 9)$,
следовательно,
$ (x^3y^3 + 1)^2 - z^6\equiv 0(mod 9) $

Если $ z $ не делится на $3$, то
$ (x^3y^3 + 1)^2 \equiv 1 (mod 9) $

Отсюда два варианта:
1. $ (x^3y^3 + 1)\equiv 8 (mod 9) $
или
$ x^3y^3\equiv 7 (mod 9) $, что невозможно.

2. $(x^3y^3 + 1)\equiv 1(mod 9) $
или
$ x^3y^3\equiv 0 (mod 9) $,
откуда делаем вывод, что одно из чисел должно делиться на $3$.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Ну, докажите для начала, что для любого целого нечетного числа $n$, $n^3-n$ делится на 24.

Условия принимаю. Доказательство. Достаточно положить $n=2k+1$ и к полученному многочлену по $k$ применить теорему Безу М. А.

shwedka писал(а):

Жду с предвосхищением ужаса.

А теперь, чтобы долго не ждали
Теорема Ферма. “Если $ n $ означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то уравнению

$$ x^n + y^n = z^n, \eqno (1) $$

не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа $ x, y $ и $ z $, [1, 11].
Доказательство. Допустим противное: Решение уравнения (1) в целых положительных числах существует.Для уравнения (1) может не существовать или существовать прямоугольный треугольник с длинами сторон $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$. Это зависит от невыполнения или выполнения для него теоремы косинусов [2, 330]:

$$ \left\{ \begin{aligned} (x^{n/2})^2 + (y^{n/2})^2 - 2x^{n/2}y^{n/2}\cos C = (z^{n/2})^2\\ (z^{n/2})^2 + (x^{n/2})^2 - 2(x^{n/2}) (z^{n/2}) \cos B = (y^{n/2})^2\\ (z^{n/2})^2 + (y^{n/2})^2 - 2(y^{n/2}) (z^{n/2}) \cos A = (x^{n/2})^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (2) $$

с условиями для сторон

$$ x^{n/2} > 0, y^{n/2} > 0, z ^{n/2} > 0, $$

которые выполняются, и для углов

$$ 0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi , A + B + C = \pi. \eqno (3) $$

Рассмотрим каждый случай в отдельности.
1. Треугольник не существует. Тогда должны нарушаться условия (3). Это возможно при: а) $C = A = \pi/2, B = 0$, тогда соотношения (2) соответственно дадут $x^n + y^n = z^n, z^n + x^n = y^n, z^n + y^n = x^n$, что возможно только при $x = y = z =0$;
b) $C = \pi, A = B = 0$, тогда из (2) соответственно получим: $( (x^{n/2} + y^{n/2})^2 = z^n, (z^{n/2} - x^{n/2})^2 = y^n, (z^{n/2} - y^{n/2})^2 =x^n$, что возможно, когда либо $x = 0$, либо $y = 0$. Получили противоречие.
2. Треугольник существует. Уравнение (1) из системы (2) мы получим при
$C = \pi/2, x^{n/2} = z^{n/2}\cos B, y^{n/2} = z^{n/2}\cos A$. Подставляя эти $x$ и $y$ в уравнение (1), получим, с учетом, что $z \ne 0$, условие существования прямоугольного треугольника для уравнения (1)

$$ \cos^{2} A + \cos^{2} B = 1, $$

но у такого треугольника гипотенуза не соизмерима с катетом. Получили противоречие и для второго случая. Теорема доказана полностью.



Литература

1. Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, Госиздат, М – Л, 1927, с. 76.
2. Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии, “Советская наука”, М., 1953, с. 464.

[shwedka]

Yarkin
по-моему, полнейший плагиат с Любарцева. Вы сравните!!!

А для ясности, плиз, уточните, какие, конкретно, у тругольника, в случае 2, катеты и гипотенуза, выразите их через исходные x,y,z.

[Бином]

Не понимаю зачем доказывать то, что уже доказано, ведь в мире есть много недоказанных гипотез, и лучше уж переключиться на них.