Принцип суперпозиции

[warlock66613]

edge в сообщении #1250763 писал(а):

пространство состояний...вроде как

Основываясь на этом ответе, я считаю, что вам не стоит пока запариваться над подобными тонкостями.

[edge]

warlock66613 в сообщении #1250769 писал(а):

Основываясь на этом ответе, я считаю, что вам не стоит пока запариваться над подобными тонкостями.

Вопрос, вроде как, не особо сложный. Если дельта-функции не описывают никаких состояний, а разложение в данном случае не является суперпозицией состояний, то каков смысл коэффициентов разложения? Вероятность чего они позволяют вычислить?

Отрывок взять из http://kpfu.ru/docs/F1738320152/Quantum_Theory.pdf

[warlock66613]

edge в сообщении #1250815 писал(а):

Вероятность чего они позволяют вычислить?

Квадрат модуля отдельного коэффициента (которых очень много — континуум) какой-то осмысленной вероятностью на самом деле не является, но если их проинтегрировать, то можно найти вероятность того, что координата лежит в каком-то интервале:

$$P(x_1 \leqslant x \leqslant x_2) = \int\limits_{x_1}^{x_2} |\psi(x)|^2 dx.$$

Если взять очень узкий интервал координат, то, соответственно, получим:

$$P(x_0 \leqslant x \leqslant x_0 + \Delta x) \approx |\psi(x_0)|^2 \Delta x,$$

$$|\psi(x_0)|^2 \approx \frac 1 {\Delta x} P(x_0 \leqslant x \leqslant x_0 + \Delta x).$$

То есть квадрат модуля отдельного коэффициента ($\psi(x_0)$) является вероятностью, что значение координаты находится в узком интервале вблизи $x_0$, нормированной на длину этого интервала.

[edge]

warlock66613 в сообщении #1250821 писал(а):

То есть квадрат модуля отдельного коэффициента ($\psi(x_0)$) является вероятностью системе иметь координату в узком интервале вблизи $x_0$, нормированную на длину этого интервала.

Ну в общем, это мною и подразумевалось, но с учетом того, что коэффициенты разложения, так скажем, соответствуют волновым функциям (дельта-функция), как состояниям. А если волновые функции (дельта-функции) не описывают состояния, тогда уж даже не знаю. Или все-таки дельта-функции являются функциями описывающими состояния?

[warlock66613]

edge в сообщении #1250822 писал(а):

А если волновые функции (дельта-функции) не описывают состояния, тогда уж даже не знаю.

Как отдельный коэффициент не позволяет вычислить какую-то вероятность, но вероятность получается лишь после интегрирования, так и отдельная дельта-функция не описывает физически возможное состояние, но физически реализуемые состояния описывают их линейные комбинации — интегралы $\int \psi(\eta) \delta(x - \eta)d\eta.$ Это две стороны одной монеты.

[edge]

warlock66613 в сообщении #1250830 писал(а):

Как отдельный коэффициент не позволяет вычислить какую-то вероятность, но вероятность получается лишь после интегрирования, так и отдельная дельта-функция не описывает физически возможное состояние, но физически реализуемые состояния описывают их линейные комбинации — интегралы $\int \psi(\eta) \delta(x - \eta)d\eta.$ Это две стороны одной монеты.

Так вроде бы смысл разложения как раз в том, чтобы представить исходную функцию как линейную комбинацию возможных состояний(каждая отдельная дельта-функция), одно из которых будет получено при измерении, в данном случае координаты

[realeugene]

edge в сообщении #1250845 писал(а):

Так вроде бы смысл разложения как раз в том, чтобы представить исходную функцию как линейную комбинацию возможных состояний(каждая отдельная дельта-функция), которое будет получено при измерении, в данном случае координаты

Вы всё равно не сможете измерить координату точно. Так что, и спроектировать состояние на дельта-функцию вы в реальном эксперименте не сможете. Но как промежуточный расчётный шаг - очень удобно.

[edge]

realeugene в сообщении #1250849 писал(а):

Вы всё равно не сможете измерить координату точно. Так что, и спроектировать состояние на дельта-функцию вы в реальном эксперименте не сможете. Но как промежуточный расчётный шаг - очень удобно.

волновая функция свободной частицы уже отражена в координатном представлении. Поэтому коэффициенты разложения повторяют тот же смысл, что и исходная функция: вероятность обнаружить частицу в окрестности определенной точки.
Тут другой вопрос возник, если дельта-функция не является функцией, описывающей возможное при измерении состояние, то и разложение не является суперпозицией состояний, как бы

[realeugene]

edge в сообщении #1250851 писал(а):

вероятность обнаружить частицу в окрестности определенной точки.

В реальном эксперименте "окрестность" означает именно окрестность. Ненулевой ширины.

[edge]

realeugene в сообщении #1250854 писал(а):

В реальном эксперименте "окрестность" означает именно окрестность. Ненулевой ширины.

ну, в общем, да

[warlock66613]

edge в сообщении #1250851 писал(а):

то и разложение не является суперпозицией состояний, как бы

Наоброт, оно именно что "как бы" является суперпозицией состояний, так же как дельта-функция — это "как бы" функция, а соответствующее состояние — "как бы" состояние. Чтобы понять точный математический смысл этого "как бы" надо быть хотя бы немножко знакомым с теорией обобщённых функций и понятием оснащённого гильбертова протранства (а для это нужно, опять же хотя бы немножко, быть знакомым с понятием гильбертова пространства). В самом общем (ознакомительном) виде, всё это есть в упомянутой выше книге Иванова "Как понимать квантовую механику?" (ссылка на pdf с последней версией есть на авторской страничке книги).

[edge]

warlock66613 в сообщении #1250863 писал(а):

Наоброт, оно именно что "как бы" является суперпозицией состояний

и я тоже считаю, что разложение волновой функции свободной частицы по собственным функциям оператора координаты является суперпозицией состояний. Причем, если следовать определению принципа суперпозиции, то речь идет о суперпозиции именно возможных состояний (которые могут быть потенциально реализованы). И эти возможные состояния описываются волновыми функциями, в данном случае, получается, дельт-функциями.

[realeugene]

edge в сообщении #1250876 писал(а):

Причем, если следовать определению принципа суперпозиции, то речь идет о суперпозиции именно возможных состояний (которые могут быть потенциально реализованы).

Это философия, а не определение.

[warlock66613]

edge в сообщении #1250876 писал(а):

и я тоже считаю

Я извиняюсь, но я (видимо, в отличие от вас), ничего не считаю. Я говорю как оно есть, и принимаю на себя сопутствующую ответственность за намеренное или ненамеренное враньё.

Что касется того "суперпозиция или не суперпозиция", и "состояний или не состояний" — поймите, что есть дискретный спектр и есть непрерывный спектр. В дискретном случае всё просто, в непрерывном — сложнее. Многие вещи в квантовой механике формулируются как бы для дискретного спектра, но подразумевается, что это всё определённым образом переносится на непрерывный. Например, может быть написана формула с суммой ($\psi=\sum\limits_i a_i \varphi_i$), а под формулой написано что-то вроде "в случае непрерывного спектра подразумевается интегрирование". а в другом случае под формулой или каким-то утверждением ничего не написано, но всё равно подразумевается, что на непрерывный спектр эта формула/утверждение переносится не дословно, а с приличествующими изменениями. Эта касется и утверждений про разложения волновой функции по дельта-образным базисным состояниям непрерывного спектра. Разложение по дельта-функциям — это не совсем то же самое, что разложение по дискретному базису, но оно во многом на него похоже, с ним во многих случаях можно обращаться точно так же. Но на самом деле в финале какого-то реального расчёта вам придётся взять какой-то интеграл, чтобы от нефизических дельта-образных состояний перейти к реальным размазанным состояниям.

[edge]

warlock66613 в сообщении #1250896 писал(а):

Но на самом деле в финале какого-то реального расчёта вам придётся взять какой-то интеграл, чтобы от нефизических дельта-образных состояний перейти к реальным размазанным состояниям.

если вы пытаетесь донести тот факт, что при расчетах будет осуществляться аппроксимация дельта-функций, то я этого не отрицаю...