Несчетных множеств не существует?

[granit201z]

Xaositect в сообщении #1249795 писал(а):

Любая формула - это конечное число символов, так что их все равно будет счетное число.

Вот и я о том же. Числа для достижения которых нет пути - никак не связаны с теми, которые могут быть достигнуты. Поэтому все множества счетные и несчетных множеств не существует?

[mihaild]

granit201z в сообщении #1249796 писал(а):

Числа для достижения которых нет пути - никак не связаны с теми, которые могут быть достигнуты

В любой окрестности любого "достижимого" числа есть бесконечно много "недостижимых". И любое "достижимое" число можно представить суммой "недостижимых".

granit201z в сообщении #1249796 писал(а):

Поэтому все множества счетные и несчетных множеств не существует?

Тут вопрос в том, что значит "существует". Обычно в математике это значит "в рассматриваемой теории доказуемо утверждение $\exists x: P(x)$". В частности, в $ZF$ доказуемо утверждение $\exists x: \neg \text{x счетно}$.

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1249794 писал(а):

И все-равно множество всех действительных никогда не будет достигнуто?

Что значит "никогда", требует уточнений. Однако:
- если у нас есть конечное или счётное множество допустимых операций, и мы можем применять их любые конечные комбинации к натуральным числам (например, конструируя число вроде $\frac{\ln\sin 1}{2^{\sqrt{2}}}$) - то так мы не сможем получить все действительные числа, а только числа из некоторого счётного подмножества $\mathbb{R}$;
- если мы получаем действительное число из натурального при помощи какого-то алгоритма, возможно бесконечно длинного, но допускающего конечную запись (эта формулировка требует уточнения; например, имеются в виду бесконечные ряды с общим членом, заданным формулой) - то так мы тоже не сможем получить все действительные числа, а только числа из некоторого счётного подмножества $\mathbb{R}$.

granit201z в сообщении #1249743 писал(а):

Если продолжить применять те же операции не к натуральным числам, а уже к элементам этого счетного подмножества оно (подмножество) будет расширяться?

Нет, что напрямую следует из определения этого подмножества.

-- 22.09.2017, 17:02 --

granit201z в сообщении #1249796 писал(а):

Вот и я о том же. Числа для достижения которых нет пути - никак не связаны с теми, которые могут быть достигнуты. Поэтому все множества счетные и несчетных множеств не существует?

А вот это важный момент. Из всего $\mathbb{R}$ нам доступна только крохотная часть. Только небольшое счётное множество чисел мы можем как-то получить, как-то записать нашими формулами. Но это не значит, что остальные числа не существуют: они существуют, просто мы не можем их представить никакой формулой и никаким описанием.

Но если Вам по душе подход "то, чего нельзя построить - не существует", то такой подход тоже есть, правда не очень популярен. Называется "конструктивная математика". Многие верные в классической математике результаты оказываются неверными в конструктивной.

[upgrade]

В $1/3=0,3333...$ тройки после запятой пронумеровать можно?

[Mikhail_K]

upgrade в сообщении #1249812 писал(а):

В $1/3=0,3333...$ тройки после запятой пронумеровать можно?

Тройки - можно. Но к чему этот вопрос?

[atlakatl]

upgrade
Можно. Но пытаясь дойти до конца, мы в $1/3$ так и останемся. Либо придётся мутить какую-то схему, типа, это число считаем целиком, а это посимвольно, периодически возвращаясь к нему. Но всё равно, мы будем ограничены счётным множеством, - и никогда за его приделы не выйдем.

[upgrade]

Mikhail_K в сообщении #1249815 писал(а):

к чему этот вопрос?

Это я о своем:

(Оффтоп)

Мы используем следующую систему "координат"
адрес;x;y
адрес - это номер, которому соответствуют точка на плоскости x,y
выглядит это так
$1,1,0$
$2,1,1$
$3,1,2$
$4,1,3$
...
т.е. пронумерованы все возможные координаты на координатной плоскости
вот я и подумал - а нельзя ли пронумеровать дробные части - ввести $z_1,z_2, ...$, то есть сделать так:
$1,1,0,1,1,1....$ (единицы после запятой)
...
По всей видимости, нельзя.

[atlakatl]

Один из путей врубиться в несчётность точек отрезка такой:
Натуральный ряд счётен.
Целые числа счётны.
Рациональные числа счётны.
Множество корней уравнений с целыми коэффициентами - тоже счётно! Т.е. иррациональности типа $\sqrt{23-\sqrt{67}}$ тоже можно посчитать.
Внимание! Множество корней уравнений с алгебраическими коэффициентами (т.е. взятыми из предыдущего множества) - это алгебраические числа - счётно, как и все предыдущие.
Что осталось? Трансцендентные числа. Всего лишь.
Предполагая, что мы считаем члены из каждого множества, по-очереди обходя каждое, попробуйте задать порядок пересчёта для трансцендентных чисел.
Убедившись, что упёрлись, возвращайтесь к доказательству Кантора.

[arseniiv]

atlakatl в сообщении #1249834 писал(а):

Что осталось? Трансцендентные числа. Всего лишь.

Там ещё можно немало всё больших и больших счётных нарисовать — целую иерархию по-разному вычислимых, например.

-- Пт сен 22, 2017 21:59:00 --

atlakatl в сообщении #1249834 писал(а):

Убедившись, что упёрлись, возвращайтесь к доказательству Кантора.

Лучше с него начать. А то всё большие и большие счётные множества можно при желании в $\mathbb R$ выделять до поседения.

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1249800 писал(а):

Только небольшое счётное множество чисел мы можем как-то получить, как-то записать нашими формулами. Но это не значит, что остальные числа не существуют: они существуют, просто мы не можем их представить никакой формулой и никаким описанием.

Рассмотрим прямую на плоскости, т.е. двумерную.
Любая точка произвольной прямой $OA$ может быть представлена как точка пересечения пучка прямых
Т.к. пучок прямых - это по сути вся плоскость, то в любом пучке найдутся хотя бы две прямые $OB$ и $OC$, каждая из которых будет проходить через две целочисленные точки, ну или через рациональные, или другие, представляющие собой пару точек из счетного множества.
Следовательно, любая точка прямой $OA$ может быть представлена как точка пересечения $OB$ и $OC$, т.е. как восьмерка счетных чисел (две точки одной прямой, построенные на счетных числах - четыре счетных числа и две точки другой прямой, построенные на счетных числах - еще четыре счетных числа)
С другой стороны, любая точка прямой может быть представлена комплексным числом - упорядоченная пара действительных чисел.
Следовательно, любое комплексное число всегда может быть представлено восьмеркой из счетных чисел, а, следовательно и само является счетным.
Если же все-таки это не так, т.е. множество комплексных чисел - несчетное множество то:
Существуют точки на плоскости, которые будучи центром пучка прямых объединяют только такие прямые, что любая точка на этой прямой, а следовательно и на всем пучке, а следовательно и на всей плоскости - не является парой из счетного множества, т.е точек таких как $(0, 0)$; $(1, 3)$ и т. д. нет на плоскости этого пучка.
А так как мы рассматриваем одну и ту же плоскость - она не может одновременно и иметь целочисленные точки и не иметь их.

[Dmitriy40]

Поздравляю! Только что Вы доказали эквивалентность комплексных и действительных чисел! (Если не вообще рациональных...) Ибо для указания любой точки на прямой достаточно вторых.

[Xaositect]

granit201z в сообщении #1249876 писал(а):

Т.к. пучок прямых - это по сути вся плоскость, то в любом пучке найдутся хотя бы две прямые $OB$ и $OC$, каждая из которых будет проходить через две целочисленные точки, ну или через рациональные, или другие, представляющие собой пару точек из счетного множества.

Нет. Если точка пересечения имеет иррациональные координаты, то любая прямая пучка, кроме, может быть, одной исключительной прямой, содержит максимум одну точку с рациональными координатами.

[granit201z]

Dmitriy40 в сообщении #1249880 писал(а):

Ибо для указания любой точки на прямой достаточно вторых.

Если мы хотим указать двумерную точку одним числом, то недостаточно действительных, а вот комплексных достаточно.

[warlock66613]

granit201z в сообщении #1249886 писал(а):

Если мы хотим указать двумерную точку одним числом, то недостаточно действительных

Вполне достаточно (это доказал тот же Кантор, и это уже упоминалось в этой теме).

[granit201z]

Xaositect в сообщении #1249881 писал(а):

Нет. Если точка пересечения имеет иррациональные координаты, то любая прямая пучка, кроме, может быть, одной исключительной прямой, содержит максимум одну точку с рациональными координатами.

Возможно я не совсем четко выражаю мысли, но не все иррациональные точки представляют проблему, т.к. многие иррациональные могут быть описаны с помощью рациональных. Я имел ввиду - непредставимые:

granit201z в сообщении #1249876 писал(а):

Т.к. пучок прямых - это по сути вся плоскость, то в любом пучке найдутся хотя бы две прямые $OB$ и $OC$, каждая из которых будет проходить через две целочисленные точки, ну или через рациональные, или другие, представляющие собой пару точек из счетного множества.

Т.е. все мое рассуждение

granit201z в сообщении #1249876 писал(а):

Рассмотрим прямую на плоскости, т.е. двумерную.
Любая точка произвольной прямой $OA$ может быть представлена как точка пересечения пучка прямых
Т.к. пучок прямых - это по сути......

может быть сведено к следующей фразе:

Либо несчетные множества невозможны, либо существуют "непредставимые" пучки прямых, т.е. такие, в которых ни одна прямая не может быть задана, или может быть задана только одна прямая на весь пучок. Иначе не было бы "непредставимых" чисел, о которых писал Mikhail_K

Mikhail_K в сообщении #1249800 писал(а):

Из всего $\mathbb{R}$ нам доступна только крохотная часть. Только небольшое счётное множество чисел мы можем как-то получить, как-то записать нашими формулами. Но это не значит, что остальные числа не существуют: они существуют, просто мы не можем их представить никакой формулой и никаким описанием.