Несчетных множеств не существует?

[granit201z]

Можно несколько переформулировать:

Множество всех возможных приближений всех бесконечнозаписываемых чисел является счетным множеством

[provincialka]

А что такое "приближение"? Как вы понимаете это слово?

В каком-то смысле это так, только наоборот: числами из счетного множества (рациональными, например) можно "приблизить" любое вещественное. Тут "приблизительность" описывается с помощью "расстояния" между точами. Но к мощности множеств расстояние не имеет отношения, это совсем другое понятие.

[Xaositect]

Это понятие, кстати, называется сепарабельностью.

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1249671 писал(а):

Множество всех возможных приближений всех бесконечнозаписываемых чисел является счетным множеством

Это очень кривая формулировка, но она похожа на одну правильную, и хорошо известную в математике. Вместо "множество действительных чисел счётное" правильно говорить так:

"В пространстве $\mathbb{R}$ действительных чисел есть счётное всюду плотное множество" (или, что то же самое: "пространство $\mathbb{R}$ сепарабельно").
Это значит, что, хотя множество действительных чисел и несчётно, каждое действительное число можно сколь угодно точно приблизить числами из счётного множества. В качестве такого счётного множества можно взять, например, множество конечных десятичных дробей. Или множество рациональных чисел.

-- 22.09.2017, 10:05 --

P.S. provincialka и Xaositect меня опередили)
Про всюду плотные множества и сепарабельность Вы можете прочитать в учебнике Колмогорова-Фомина, который Вам уже посоветовали в Вашей предыдущей теме. Только уже во второй главе, а не в первой.

-- 22.09.2017, 10:08 --

Важно ещё, что для определения мощности нужно иметь только само множество, а для того чтобы говорить о всюду плотности или сепарабельности, на множестве нужно иметь специальную структуру - например метрику. Потому что для множеств без каких-либо дополнительных структур непонятно, что значит "сколь угодно точно приблизить".

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1249677 писал(а):

на множестве нужно иметь специальную структуру - например метрику

я думаю, можно и без метрики (я понимаю это как длина отрезка, хотя, возможно, неправильно понимаю) обойтись. например, "число" "абдеек" одинаково близко к числам "абдеей" и "абдеел" но дальше от числа "абдеем".

-- 22.09.2017, 10:37 --

Т.е. чем больше ячеек слева направо заполнены одинаково у двух сравниваемых "чисел", тем точнее они друг к другу приближены. И этого вполне достаточно для того, чтобы определить точность приближения чисел.

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1249680 писал(а):

Т.е. чем больше ячеек слева направо заполнены одинаково у двух сравниваемых "чисел", тем точнее они друг к другу приближены

В этом подходе мне не нравится то, что смешиваются сами объекты - числа - и их десятичная запись.

Но есть и более серьёзное возражение. Вот, у чисел $0.9999$ и $1$ вообще нет "одинаково заполненных ячеек", но они довольно близки. Хотя этот вопрос решается соглашением, что у числа $1.000\dots$ есть эквивалентная запись $0.999\dots$, т.е. это две разных записи одного и того же числа. Поэтому у чисел $0.9999$ и числа $1=0.999\dots$ всё же есть "одинаково заполненные ячейки".

[kotenok gav]

granit201z в сообщении #1249599 писал(а):

0 - 0.0
1 - 0.1
2 - 0.2
3 - 0.3
4 - 0.4
5 - 0.5
6 - 0.6
7 - 0.7
8 - 0.8
9 - 0.9
10 - 0.01
11 - 0.11
12 - 0.21
13 - 0.31
14 - 0.41
15 - 0.51
16 - 0.61
17 - 0.71
18 - 0.81
19 - 0.91
20 - 0.02
21 - 0.12
22 - 0.22
23 - 0.32
24 - 0.42
...
100 - 0.001
101 - 0.101
102 - 0.201
103 - 0.301
104 - 0.401
...

А на каком месте у вас будет стоять число $\frac1{\pi}$?

[granit201z]

kotenok gav в сообщении #1249685 писал(а):

А на каком месте у вас будет стоять число $\frac1{\pi}$?

Аналогичный вопрос был с $1/3$. Само это число достигнуто не будет ввиду бесконечности его записи, но все возможные его приближения будут стоять каждое на своем месте (в соответствии с назначенными правилами расстановки) и встречаться только единожды.

[Mikhail_K]

Вот именно. А чтобы говорить о счётности множества, занумеровать надо все его элементы. Причём нормальными "конечными" натуральными числами. Вы же показали не счётность, а сепарабельность $\mathbb{R}$.

"Все возможные приближения" - на самом деле говорить тоже не очень корректно, ведь число $1/3$ можно приближать не только конечными дробями. Число $1/3+\sqrt{2}/1000000$ тоже будет приближением для $1/3$, но не встретится в Вашем списке. Точнее сказать так:

Mikhail_K в сообщении #1249677 писал(а):

Это значит, что, хотя множество действительных чисел и несчётно, каждое действительное число можно сколь угодно точно приблизить числами из счётного множества. В качестве такого счётного множества можно взять, например, множество конечных десятичных дробей. Или множество рациональных чисел.

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1249696 писал(а):

ведь число $1/3$ можно приближать не только конечными дробями. Число $1/3+\sqrt{2}/1000000$ тоже будет приближением для $1/3$

Очень смутная мысль забрезжила в голове после этих слов. Возможно не очень грамотно и корректно, но я все же попытаюсь ее выразить.
Действительное число $1/3$ без каких бы то ни было проблем 100% точно выражено элементами двух счетных множеств. Первое из них - множество целых чисел (соответственно элементы $1$ и $3$, а второе - множество n-арных операций (соответственно элемент $/$. Для $\sqrt{2}$ соответственно $2$, $2$ и $\sqrt{}$. Ну а "геометрическая близость" это так сказать близость по операциям $+$ и $-$ (но в принципе, "соседство" можно рассматривать по любым операциям и тогда у одних и тех же чисел будут совершенно разные "соседи"). Соответственно каждая n-ка целых (хотя наверное даже натуральных) чисел дает возможность "перепрыгнуть" на любое другое число из множества действительных. А проблемы "приближения" связаны только с тем, что для него используется только $/$, а эта операция в свою очередь не позволяет исчерпывающим образом пройтись по всем действительным числам на основании только целых.

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1249726 писал(а):

Очень смутная мысль забрезжила в голове после этих слов. Возможно не очень грамотно и корректно, но я все же попытаюсь ее выразить.

Понять то, что Вы здесь написали, очень затруднительно - и у меня не получилось.
Может, всё-таки вначале почитаете учебники вместо придумывания новых велосипедов с квадратными колёсами?

На всякий случай уточню, что среди действительных чисел только малая часть могут быть получены из натуральных с помощью комбинаций некоторого набора стандартных операций, таких как деление, извлечение корня и т.д.

Если у нас есть конечный или даже счётный набор операций и мы будем применять к натуральным числам всевозможные конечные комбинации операций из этого набора, то мы получим таким образом не все действительные числа, а только принадлежащие некоторому счётному подмножеству $\mathbb{R}$.

[Sender]

granit201z
, как вы намерены выразить число $\pi$, например? Ну и, откровенно говоря, мысль, на мой взгляд всё-таки слишком смутная.
Вообще, вы знакомы с доказательством теоремы Кантора о несчётности множества точек отрезка? Вы считаете его неверным, можете указать на ошибки?

[granit201z]

Sender в сообщении #1249733 писал(а):

как вы намерены выразить число $\pi$, например?

Формула Валлиса или Ряд Лейбница. Судя по википедии там все построено на натуральных числах и простых операциях. Все это - элементы счетных множеств

-- 22.09.2017, 14:21 --

Mikhail_K в сообщении #1249731 писал(а):

Если у нас есть конечный или даже счётный набор операций и мы будем применять к натуральным числам всевозможные конечные комбинации операций из этого набора, то мы получим таким образом не все действительные числа, а только принадлежащие некоторому счётному подмножеству $\mathbb{R}$.

А конечность комбинаций на бесконечных множествах разве обязательное условие?

-- 22.09.2017, 14:23 --

Хотя, возможно, Вы и правы. Мне нужно подумать, чтобы что-то ответить

-- 22.09.2017, 14:41 --

Mikhail_K в сообщении #1249731 писал(а):

Может, всё-таки вначале почитаете учебники вместо придумывания новых велосипедов с квадратными колёсами?

Sender в сообщении #1249733 писал(а):

Вообще, вы знакомы с доказательством теоремы Кантора о несчётности множества точек отрезка? Вы считаете его неверным, можете указать на ошибки?

Я "параллелю" чтение и размышления над прочитанным. К сожалению, прочитать и понять все за вечер мне не представляется возможным.

-- 22.09.2017, 15:12 --

Mikhail_K в сообщении #1249731 писал(а):

Если у нас есть конечный или даже счётный набор операций и мы будем применять к натуральным числам всевозможные конечные комбинации операций из этого набора, то мы получим таким образом не все действительные числа, а только принадлежащие некоторому счётному подмножеству $\mathbb{R}$.

Если продолжить применять те же операции не к натуральным числам, а уже к элементам этого счетного подмножества оно (подмножество) будет расширяться?

[granit201z]

Например, дано счетное множество натуральных чисел. Из операций только $+$ и $\cdot$. Применяя эти операции ко всем элементам множества мы никогда его не покинем. Если ввести еше одну операцию $-$, то множество натуральных расширится до множества целых (соответственно и операции мы будем применять теперь ко всем на этом множестве, а не только к натуральным), но никогда не покинем его на этих 3-х операциях. Введя новую (четвертую по счету операцию) $/$ - множество целых расширится до множества рациональных и т.д. Но в основе лежат все-равно только два счетных множества - множество натуральных и множество операций. И все-равно множество всех действительных никогда не будет достигнуто?

[Xaositect]

Нет. Любая формула - это конечное число символов, так что их все равно будет счетное число.