Найдите x и y, если x^(1/2)+y^(1/2)=x и x^(1/4)+y^(1/4)=y

[BarotovDostonjon]

Используется синтаксис C++

Система уравнения
x^(1/2)+y^(1/2)=x
x^(1/4)+y^(1/4)=y
 

[wrest]

Например $x=0, y=0$

[BarotovDostonjon]

Спасибо , но все x и y

[Dmitriy40]

$x\approx 3{,}5; y \approx 2{,}6$.
UPD. Кстати, по графикам видно что решение в положительном квадранте единственно. В принципе это можно даже и доказать, показав что в интервалах $0<x<2$ и $0<y<2$ (придётся каждый разбить на два интервала по точке $1$) оба графика не пересекают линию $y=x$, значит и решений в них нет. А при $x>2$ или $y>2$ оба графика лишь возрастают и значит пересечение единственно. Ну а что они оба таки пересекают линию $y=x$ легко показать подставив достаточно большой аргумент. Собственно и всё.
Можно даже сразу оценить где решение, оно ограничено условиями $2<x<4$ (верхняя граница определяется по факту пересения первого графика линии $y=x$).

[wrest]

Подставим второе в первое, заменим переменные $t=y^{1/4}$ после преобразований получим уравнение

$t^2(t^{14}-4t^{11}+6t^8-t^6-4t^5+2t^3+t^2-2)=0$
Два корня, очевидно, нули (и $y=0$). Делим на $t^2$

$$t^{14}-4t^{11}+6t^8-t^6-4t^5+2t^3+t^2-2=0 \eqno(1)$$

Из 14 корней (1) выбираем вещественные большие нуля.
Эти корни возводим в четвертую степень, получаем $y$, который подставляем в первое уравнение системы и из него получаем $x$.
Не уверен что (1) имеет аналитическое решение.
Левая часть (1) при $t=0$ равна $-2$ а при $t=2$ левая часть (1) больше нуля, так что уж один-то корень между $t=0$ и $t=2$ точно есть.
Можно даже улучшить местонахождение, т.к. левая часть при $t=1$ по-прежнему отрицательна, так что корень точно есть между $t=1$ и $t=2$ и соответственно $y$ тогда лежит между $y=1$ и $y=16$.

А есть точное решение (1)?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

BarotovDostonjon
Все формулы и термы наберите $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума

[Toucan]

BarotovDostonjon, в стартовом сообщении напишите, пожалуйста, откуда взялась задача.