Непостижимая эффективность математики

[Degen1103]

...Анализ физических теорий, допускающих множественность вселенных, показал, что классические требования к теории (начавшие формироваться еще в Новое время), связывающие ее истинность с критериями наблюдаемости и необходимостью обоснования базовых принципов нашей вселенной, возможно, оказываются не полностью состоятельными. Теоретическая физика движется в направлении формулировки моделей, которые представляют серьезную трудность для экспериментальной проверки, в результате чего многие концепции остаются на уровне гипотез. В некоторых физических теориях такая проверка, вероятно, и не может выступать в качестве необходимого требования. Теория может фиксировать некие более общие основания, лежащие вне возможностей эмпирического наблюдения. В таком случае возникает эпистемологический вопрос о том, что должно являться критерием ее истины. В настоящей работе осуществляется попытка обоснования приоритета математического обоснования над эмпирическим...

И.А. Карпенко.
Физические теории в условиях множества возможных миров
Философский журнал. 2017. Т. 10. № 2. С. 62–78.

[Pphantom]

Degen1103, Вы задались целью собрать тут полный архив философских сочинений на тему? Наверное, все же не стоит. Ценность у этой писанины нулевая, даже если ее авторы удачно пересказывают научно-популярную литературу (а это случается редко).

[Degen1103]

Автор ссылается на первоисточники.
А то, что статья написано ясно и доступно - несомненное её достоинство и показывает глубокое владение материалом. Я как раз у Клайна до Лобачевского дошёл, и историческая аналогия между абстракциями неэвклидовых геометрий и Мультвёрсом вдруг очень объёмно проступила...

[Degen1103]

Mopnex в сообщении #1245310 писал(а):

книга набита цитатами выдающихся математиков, комментирующих эту тему, поэтому к автору и вопросов то почти нет.

Читаю Клайна с огромным интересом и удовольствием. Конечно, основные вехи развития математики до 19 века в целом представлял, но пребывал в блаженной уверенности, что уж здесь-то, в мире чистых идей, царит небесная гармония. Ан нет, вопросом непостижимой эффективности собственных теорий задавились многие их авторы

[beroal]

Someone в сообщении #1244898 писал(а):

Клайн … пишет в расчёте на широкую публику, не разбирающуюся в математике, утверждая, что в математике кризис, всё разваливается и т.п.

Вследствие изучения истории математики у меня сложилось впечатление, что кризис в 1850—1900 годах всё-таки был. Сухие учебники не передают эмоций. Но кризис назревал очень постепенно. Один из факторов — расширение понятия числа. С иррациональными числами столкнулись ещё в Древней Греции. Мнимая часть комплексного числа. Названия этих понятий есть свидетельство, что эти понятия какие-то нереальные. Другой фактор — неэвклидовы геометрии. Математики придумывают фантастические понятия, единорогов. А с другой стороны, глупо отказываться от понятия комплексного числа. Общая тенденция в том, что математика отдаляется от физического мира. Но физическая интерпретация математики придаёт ей полезность. По-моему, «эффективность» в данном контексте есть синоним «полезности». Если интерпретации нет, то математику не надо финансировать. А это вопрос выживания математиков.

Кстати. Если философы пытаются объяснить эффективность математики, они считают её постижимой. Я считаю, пора выбросить термин «непостижимая эффективность математики» на свалку.

[Munin]

К указанным годам комплексные числа были уже век как обжиты, и обсуждались гиперкомплексные числа, алгебраические (а тут вопрос, что единорожистее: алгебраические числа или действительные?), группы перестановок. В геометрии - да, неевклидовы (под которыми понималась долгое время только геометрия Лобачевского), проективная/ые, многомерные - это всё тоже из разряда "единорогов". Плюс целый "зоопарк" "единорогов" от Кантора.

Насколько я понимаю, в этот период в математике происходила перестройка сознания примерно такого типа:
Прежнее понимание:

- вся математика описывает реальный мир (единственный и данный нам в ощущениях);
- связь утверждений и фактов происходит в конечном счёте через этот реальный мир (а математики могут её только выявить); истинность факта тоже однозначна и означает реализацию этого факта в реальном мире;
- аксиоматические теории, типа евклидовой геометрии, - скорее исключение, чем правило (может быть, она такая вообще была одна).

Новое понимание:

- математика описывает пучок абстрактных миров, каждый из которых построен мысленно;
- каждый такой мир есть аксиоматическая теория; связь утверждений в мире есть логическая цепочка; истинность факта означает доказуемость или истинность в модели (позже тут выступит Гёдель);
- связь утверждений, фактов и сущностей из разных миров (или с реальным миром) должна быть построена как явная конструкция; не требуется её единственности.

(Параллельно аналогичный процесс переосознания происходил и в физике. Она превратилась из мешанины отдельных законов в набор теорий, каждая из которых была замкнута в смысле вычислимости и однозначности результата.)

Однако называть ли это кризисом - не знаю. Периодом роста плодотворности математики он безусловно был. Математики "сбрасывали с себя цепи реального мира".

[Someone]

beroal в сообщении #1255596 писал(а):

Вследствие изучения истории математики у меня сложилось впечатление, что кризис в 1850—1900 годах всё-таки был.

Извините, но кризис — это когда катастрофически нет работы, всех увольняют и т.д. В математике или физике это означает, что всё исследовано, все задачи решены и делать больше нечего. А указанный период и последующее время, кроме пересмотра понимания места математики в изучении мира, ознаменовался возникновением множества новых направлений в математике, её невиданным расширением. То же самое касается и физики. Какой же это кризис?

Degen1103 в сообщении #1250027 писал(а):

Читаю Клайна с огромным интересом и удовольствием.

А я читал и плевался. И до конца не осилил. Скукотища и игра на широкую публику.

[Munin]

Someone в сообщении #1255629 писал(а):

Извините, но кризис — это когда катастрофически нет работы, всех увольняют и т.д. В математике или физике это означает, что всё исследовано, все задачи решены и делать больше нечего.

Ну, это вопрос более тонкий. Как вам такая ситуация: идёт бурная работа, но старые специалисты в неё не вписываются; для них нет работы, их увольняют. По старым задачам или всё решено, или прогресса нет или почти нет. Такую ситуацию часть специалистов вполне склонна будет называть "кризисом".

[Someone]

Ну, это вроде как в отрасли сменились технологии, и старые работники оказались не у дел. Для отрасли прогресс, а для тех, кто новые технологии не освоил — увы.

[Munin]

Для стороннего наблюдателя - да. Но сторонний наблюдатель как раз редко осведомлён и редко имеет тенденцию вообще вырабатывать своё мнение по поводу.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1255629 писал(а):

А я читал и плевался. И до конца не осилил. Скукотища и игра на широкую публику.

Это потому, что Вы профессиональный математик. Я чаю, профессиональным биологам тоже скучно читать что-нибудь вроде "Самого грандиозного шоу на Земле". Между тем всем знакомым домохозяйкам я эту книгу Докинза усиленно рекомендую. Правда, стоит ли рекомендовать Клайна - другой вопрос.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1255639 писал(а):

Но сторонний наблюдатель как раз редко осведомлён и редко имеет тенденцию вообще вырабатывать своё мнение по поводу.

Как правило, если человек о чём-то слышал хоть краем края уха, у него уже есть вполне определённое мнение:)))) Для меня эта непереносимость большинством населения ситуации "я знаю, что ничего об этом не знаю" всегда была загадкой.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Может быть, это привычное занятие мозга — заполнение пропусков — вышедшее из-под контроля (или, скорее, не входившее в него).

[Someone]

"Кантор против Аристотеля." В первом сообщении приводится высказывание, которое Клайн приписывает Пуанкаре. В третьем Karan поясняет, что там, куда ссылается Клайн, такого высказывания нет.

[Anton_Peplov]

Ну, это доказывает только то, что в книге есть как минимум один фактический ляп. Я думаю, довольно трудно найти книгу, где ровно ноль фактических ляпов.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1255693 писал(а):

Ну, это доказывает только то, что в книге есть как минимум один фактический ляп.

Ну, поскольку возникли сомнения, хотелось бы увидеть правильную ссылку.