Абсолютно упругий удар об угол

[fred1996]

Пусть у нас имеется абсолютно гладкий стол, на котором расположены две вертикальные стенки под острым углом $\alpha$ друг к другу.
Вдоль одной из стенок вплотную к ней запускают шарик так, что он сталкивается абсолютно упруго с данной конструкцией. Для определенности будем считать, что деформации при ударе очень малы, и подчиняются закону Гука.
Опеределить, под каким углом будет отскок.
Задача двумерная. Трениями и вращениями пренебречь.

Очевидно, что если шарик катится в угол не вдоль стенки, то задача сводится к чисто геометрической.
Но в данном случае считам, что удар фактически происходит "одновременно" с обеими стенками.
Понятно, что чисто физически задачка не совсем корректна.
Но, тем не менее, будем считать, что все происходит идеальным образом. То есть изначально шарик катится вплотную к одной стенке без малейших зазоров.
Если надо, пусть для определенности заданы начальная скорость шарика $V$, масса $m$, к-т упругости стенок $k$ и радиус шарика $r$. Шарик считать абсолютно твердым несжимаемым.
Хотя, скорее всего они не нужны. Можно считать, что $k$ очень велико, а $m$ и $V$ достаточно малы. То есть деформации малы и удар почти мгновенный.
Кажется, все условия прописал.
Задачка навеяна темой соседнего подфорума ПРР
topic120120.html
Сам я ее до конца не решил.
Кажется есть определенные тонкости для некоторых диапазонов угла.

[Xey]

Отскочит аналогично отражению луча света от двугранного зеркала.
При малом угле между плоскостями будут многократные отскоки, но шарик выскочит из угла (если нет трения).

[wrest]

Xey в сообщении #1239897 писал(а):

Отскочит аналогично отражению луча света от двугранного зеркала.

Тут аналогия с лучом такая: луч направлен параллельно одному из зеркал, и проходит на нулевой высоте над ним.
Кмк, ответ не определен.

[Xey]

Шарик (его центр) на высоте радиуса, на нулевой он не может быть.

[wrest]

Xey в сообщении #1239914 писал(а):

Шарик (его центр) на высоте радиуса, на нулевой он не может быть.

Шарик-то да, но по условиям задачи шарик ударяется в обе стенки одновременно.
В переложении на луч света -- луч света направлен точно на пересечение зеркал, т.е. отражается от обоих зеркал одновременно. А не сначала от нижнего или сначала от верхнего.

[realeugene]

wrest в сообщении #1239917 писал(а):

Шарик-то да, но по условиям задачи шарик ударяется в обе стенки одновременно.

Это запутывающее условие. Если шарик летит первоначально параллельно нижней стенке, то чтобы начались отскоки, шарик должен отскочить сначала от верхней. Нужно рассмотреть отскок при ненулевой высоте (нулевой высотой считаем когда шарик касается нижней стенки), и затем смотреть, что происходит при устремлении этой высоты к нулю. Этот предел, очевидно, существует, так как угол вылета не зависит от параметра высоты, и шарик вылетит под этим углом из точки одновременного касания стенок.

-- 11.08.2017, 12:17 --

fred1996 в сообщении #1239844 писал(а):

и подчиняются закону Гука.

А вот это условие уже некорректно, потому что при быстром, но не мгновенном ударе нужно сравнивать время удара с временем распространения звуковой волны в шарике, про которое мы ничего не знаем. Так что, единственный выход в задачах подобного рода - это считать, что отскок происходит гораздо быстрее всех остальных характерных времён в системе.

[wrest]

realeugene в сообщении #1239919 писал(а):

Это запутывающее условие. Если шарик летит первоначально параллельно нижней стенке, то чтобы начались отскоки, шарик должен отскочить сначала от верхней.

Он может лететь почти параллельно (под сколь угодно малым углом) нижней стенке и коснуться обоих именно одновременно, и ТС именно на эту одноврменность и упирает, как я вижу.

realeugene в сообщении #1239919 писал(а):

Нужно рассмотреть отскок при ненулевой высоте (нулевой высотой считаем когда шарик касается нижней стенки), и затем смотреть, что происходит при устремлении этой высоты к нулю.

Так же, надо рассмотреть и предел при касании сначала нижней стенки. Если он совпадет с предыдущим, то все хорошо. А если нет -- задача некорректная.
Мне кажется (мое "физическое чутье" мне говорит), что не совпадёт.

[realeugene]

wrest в сообщении #1239924 писал(а):

Он может лететь почти параллельно (под сколь угодно малым углом) нижней стенке и коснуться обоих именно одновременно, и ТС именно на эту одноврменность и упирает, как я вижу.

Не имеет значения, так как если он летит "почти параллельно", то он может сначала отразиться от нижней стенки и начать лететь "почти параллельно" вверх. Дальнейшие отражения, включая первое отражение от верхней стенки от этого не зависят, так как там угол отражения большой и малые погрешности угла падения приводят к малым погрешностям угла отражения. Так что, можно рассмотреть и такой предел, когда шарик, сначала, касается нижней стенки.

Вообще, конечно, можно рассмотреть все возможные углы падения и все возможные начальные высоты. Все отражения от двух стенок поочерёдные, первая стенка, в которую ударяется шарик может быть любой. Тогда предел этих задач к при устремлении их условий к условиям ТС существует.

[Xey]

Одновременно коснется , если катится по биссектрисе. По биссектрисе и отскочит.

[wrest]

Xey в сообщении #1239928 писал(а):

Одновременно коснется , если катится по биссектрисе.

Да нет же. Для того чтобы коснуться одновременно обеих стенок, центр шарика должен оказаться в конкретной точке (которая находится на биссектрисе, ессно), но попасть в эту точку он может по разным прямым.

[realeugene]

Xey в сообщении #1239928 писал(а):

Одновременно коснется , если катится по биссектрисе. По биссектрисе и отскочит.

При ударе по биссектрисе ответ может зависеть от того, о какую стенку шарик ударится первоначально. Так что такая постановка задачи уже некорректна, так как не существует такой предел задач.

[12d3]

realeugene в сообщении #1239930 писал(а):

При ударе по биссектрисе ответ может зависеть от того, о какую стенку шарик ударится первоначально. Так что такая постановка задачи уже некорректна, так как не существует такой предел задач.

Почему же он не может удариться одновременно? Если точнее, одновременно - это разность моментов времени ударов пренебрежимо мала по сравнению с временем распространения колебаний в шарике. Тогда удары слева и справа "независимы" и можно вполне привлечь соображения симметрии.

[Red_Herring]

Если рассматривать шарик как точку, то как правильно отметил Xey, он отразится (м.б. многократно) от стенок и потом выскочит обратно; его направление будет зависеть от того, от какой стенки он отразился в первый раз. Если переходить к пределу (луч целится в угол), то получатся вообще говоря два луча (альтернативно, можно считать, что там дырка, куда луч провалится).

Если рассматривать высокочастотное решение волнового уравнения, то раздвоение--правильный ответ, но возникает дополнительно более слабая круговая волна. См. книги Боровикова.

[realeugene]

12d3 в сообщении #1239931 писал(а):

Тогда удары слева и справа "независимы" и можно вполне привлечь соображения симметрии.

Как раз из соображений симметрии угол вылета зависит от того, прилетел шарик под немного большим или немного меньшим углом, чем биссектриса. И так как угол вылета в таких задачах почти для всех углов раствора сильно отличается от биссектрисы, и эти задачи симметричны при отражении относительно биссектрисы, то в их решениях будет разрыв при угле, равном биссектрисе. Раз предел решений физической задачи при малых отклонениях условий задачи не существует, значит, такие условия некорректные.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1239954 писал(а):

Раз предел решений физической задачи при малых отклонениях условий задачи не существует, значит, такие условия некорректные.

Ну да, конечно. Тогда и неустойчивых точек равновесия нет, поскольку точка с них, как правило, может уйти в разные стороны.