Допустима ли запись (множества, школьный курс)?

[arseniiv]

SpiderHulk в сообщении #1233125 писал(а):

Оно включает в себя и пустое множество в качестве подмножества и пустое множество в качестве элемента одновременно?

Ну так $x\in y$ и $x\subset y$ не взаимоисключающи. Для пары множеств возможны вообще любые их сочетания:

$$\begin{array}{ll} \varnothing\in\{\varnothing\} & \varnothing\subset\{\varnothing\} \\ \{\varnothing\}\notin\{\varnothing\} & \{\varnothing\}\subset\{\varnothing\} \\ \{\varnothing\}\in\{\{\varnothing\}\} & \{\varnothing\}\not\subset\{\{\varnothing\}\} \\ \mathbb N\notin\{\varnothing\} & \mathbb N\not\subset\{\varnothing\} \\ \end{array}$$

Вот $x\in\mathcal Py$ ($\mathcal P$ — взятие булеана) и $x\subset y$ — это уже ровно одно и то же по определению булеана.

[Munin]

SpiderHulk
Ваша беда в том, что вы используете слово "включает", не следя за его точным смыслом. Избавьтесь от него совсем.

[Mikhail_K]

SpiderHulk в сообщении #1233125 писал(а):

Оно включает в себя и пустое множество в качестве подмножества и пустое множество в качестве элемента одновременно?

Да.

[Sender]

Кстати, какие обозначения считаются общепринятыми для строгого и нестрогого включения?
Смутно припоминаю, что у нас были обозначения $\subset$ и $\subseteq$ соответственно.
Но сейчас часто встречаю $\subset$ в качестве нестрогого, а для строгого используется $\subsetneq.$

[Sender]

SpiderHulk в сообщении #1233064 писал(а):

Sender в сообщении #1233042 писал(а):

Как, по-вашему, верно ли неравенство

Нет

Правильно.

[Munin]

Sender в сообщении #1233190 писал(а):

Кстати, какие обозначения считаются общепринятыми для строгого и нестрогого включения?
Смутно припоминаю, что у нас были обозначения $\subset$ и $\subseteq$ соответственно.
Но сейчас часто встречаю $\subset$ в качестве нестрогого, а для строгого используется $\subsetneq.$

Тут всё зависит от автора (и его школы). Сначала было просто обозначение $\subset$ для нестрогого, а строгое вообще отдельно не выделялось. Потом другие авторы (кажется, Бурбаки) при очередном пересмотре теории ввели раздельно пару $\subset,\subseteq,$ и устрожили ряд формулировок. Но другие книги продолжали наследовать символ $\subset$ в нестрогом смысле. И для тех же формулировок, видимо, ввели уже и $\subsetneq$ (хотя я уже этого лично не видел).

[svv]

SpiderHulk в сообщении #1233125 писал(а):

Оно включает в себя и пустое множество в качестве подмножества и пустое множество в качестве элемента одновременно?

Да. Воспользуемся удобными обозначениями Dmitriy40. Запятые не пишем. Рассмотрим множество $A$ из четырёх элементов:
$\{1\;2\;3\;\{\}\}$
Подмножеством $A$ является множество из двух элементов: $2$ и пустое множество:
${\color{magenta} \{}{\color{lightgray} 1}\;{\color{magenta} 2}\;{\color{lightgray} 3}\;{\color{magenta} \{\}}{\color{magenta} \}}$
Подмножеством $A$ является оно само:
${\color{magenta} \{1\;2\;3\;\{\}\}}$
Подмножеством $A$ является пустое множество:
${\color{magenta} \{}{\color{lightgray} 1\;2\;3\;\{\}}{\color{magenta} \}}$
Элементом $A$ является $3$:
$\{1\;2\;{\color{teal}3}\;\{\}\}$
Элементом $A$ является пустое множество:
$\{1\;2\;3\;{\color{teal}\{\}}\}$

[Dmitriy40]

svv в сообщении #1233258 писал(а):

Воспользуемся удобными обозначениями Dmitriy40.

Это не мои, взял отсюда:

Xaositect в сообщении #1233083 писал(а):

Эта тема уже много раз обсуждалось, посмотрите, например, post654959.html#p654959

Xaositect в сообщении #654959 писал(а):

Частный случай конечного множества - множество пустое $\varnothing = \{\}$.

Просто в такой записи яснее видна аналогия с мешками и более понятно что является элементом, а что (под)множеством.


Но кстати, хочу тогда задать вопрос, что-то я его недопонял. Процитирую две формулы с переписыванием справа цветом (моё) в новых обозначениях:

arseniiv в сообщении #1233144 писал(а):

$$\varnothing\subset\{\varnothing\} \;\color{magenta}{\to \{\} \subset \{\{\}\}}$$

$$\{\varnothing\}\not\subset\{\{\varnothing\}\} \;\color{magenta}{\to \{\{\}\} \not \subset \{\{\{\}\}\}}$$

Почему в этих формулах знаки разные? Ведь всего лишь добавляется ещё один уровень, но ведь одновременно и слева и справа? Или первая формула - очень специальный случай для пустого множества и она верна "по определению"? Ко второй вопросов нет, как и к прочим не процитированным, понятно что операция $\subset$ подразумевает сохранение уровня скобочек, а операция $\in$ понижение слева уровня скобочек, но вот в первой процитированной формуле это "правило" нарушается. Почему?

[svv]

Вы, наверное, задали вопрос arseniiv. Если мне тоже можно ответить (чиста-за-свою-часть), то.
В цветовых обозначениях правило такое.
${\color{magenta}{\{1\;3\}} \stackrel{?}{\subseteq} {\color{magenta}{\{1\;2\;3\;\{\}\}}$
В правом множестве Вы можете вычеркнуть любые его элементы целиком (и только их), либо не вычёркивать ничего. Если таким образом можно получить множество слева, формула справедлива:
${\color{magenta}{\{1\;3\} \subseteq \{1}}\;{\color{lightgray}{2}\;{\color{magenta}{3}\;{\color{lightgray}{\{\}}{\color{magenta}{\}}$

Ваши примеры:
${\color{magenta}{\{\}\stackrel{?}{\subseteq}}\, {\color{lightgray}{\{} {\color{magenta}{\{\}} {\color{lightgray}{\}}$ так нельзя: вычеркнули не элемент, а внешние скобки
${\color{magenta}{\{\} \subseteq}\, {\color{magenta}{\{} {\color{lightgray}{\{\}} {\color{magenta}{\}}$ а так можно

${\color{magenta}{\{\{\}\} \stackrel{?}{\subseteq}}\, {\color{lightgray}{\{}{\color{magenta}{\{}{\color{magenta}{\{}{\color{magenta}{\}}{\color{magenta}{\}}{\color{lightgray}{\}}$ ошибка: вычеркнули внешние скобки
${\color{magenta}{\{\{\}\} \stackrel{?}{\subseteq}}\, {\color{magenta}{\{}{\color{lightgray}{\{}{\color{magenta}{\{}{\color{magenta}{\}}{\color{lightgray}{\}}{\color{magenta}{\}}$ ошибка: вычеркнули элемент не целиком
${\color{magenta}{\{\{\}\} \stackrel{?}{\subseteq}}\, {\color{magenta}{\{}{\color{magenta}{\{}{\color{lightgray}{\{}{\color{lightgray}{\}}{\color{magenta}{\}}{\color{magenta}{\}}$ ошибка: вычеркнули не элемент правого множества
${\color{magenta}{\{\{\}\} \stackrel{?}{\subseteq}}\, {\color{magenta}{\{}{\color{lightgray}{\{}{\color{lightgray}{\{}{\color{lightgray}{\}}{\color{lightgray}{\}}{\color{magenta}{\}}$ ошибка: не получилось множество слева

[arseniiv]

Как я понял, это вопрос не мне, потому что он не выглядит как вопрос уровня Dmitriy40. Решил, что это переформулировка исходного и вопрос ко всем (и ТС), насколько она им что-то приносит. Тогда да, возможно, любители этого вопроса именно так его и видят.

Вообще у меня складывается впечатление (не по одному этому вопросу, конечно), что человеческая мыслительная машина не очень любит иметь дело с вложенностью и всё норовит уплощить (flatten). Правда, это в большой степени выходит просто оценочное суждение, никуда особо не годное.

-- Чт июл 13, 2017 19:51:39 --

Ну а при серьёзном вопросе мне остаётся только добавить, что в случае затруднений стоит просто развернуть $x\subset y$ в определение $\forall e(e\in x\to e\in y)$.

-- Чт июл 13, 2017 19:53:10 --

И $e\in\{a_1,\ldots,a_n\}$, конечно, тоже развернуть в $e=a_1\vee\ldots\vee e=a_n$, откуда заодно легко видеть связанное с другими подобными вопросами равенство, скажем, $\{a,b\} = \{a,b,b,b,b\} = \{a,b,a,a,b\}$.

[svv]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1233311 писал(а):

человеческая мыслительная машина не очень любит иметь дело с вложенностью и всё норовит уплощить

Я бы сказал, иерархические структуры воспринимаются легче, если их не пытаются выразить последовательностью символов. Эволюционное древо в виде картинки воспринимается хорошо, перечисление родственных отношений таксонов (даже тоже в виде картинки) — плохо.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да, это замечание находит во мне какой-то консенсус.

[Dmitriy40]

arseniiv
Нет, вопрос был в общем-то Вам, всерьёз, но разумеется совсем не против ответа и других участников.

(Оффтоп)

Ну плохо у меня с пониманием (пустых) множеств. Да и формальной логики тоже (что из лжи логически следует что угодно у меня в голове не укладывается).

О, кажется дошло, в $\{\} \subset \{\{\}\}$ вычеркнули внутренние скобочки - т.е. элемент внешнего множества - и получили (внешнее) пустое множество. Т.е. справа вместо пустого множества как элемента внешнего могло стоять что угодно. И никакого понижения уровня скобочек тут и нет, это мираж (недостаток системы записи). Уф. svv, спасибо, на примере вкурил ошибочность упрощения до "уровня скобочек". (Постоянно хочется всё упросить до примитивно-алгоритмичности, типа уровня вложенности, сказывается повёрнутость на программировании.)
С равенством конечных множеств проблем нет, тут всё понятно. Как и с $\in$.

[arseniiv]

(Логика)

Dmitriy40 в сообщении #1233326 писал(а):

Да и формальной логики тоже (что из лжи логически следует что угодно у меня в голове не укладывается).

В принципе, есть логики, более ограниченные, чем классическая, где это неверно. Не в курсе, насколько они интересны логическому сообществу и насколько хороши как основание.

Для классической же это обычно иллюстрируют (здесь было в темах про импликацию) следствиями формулы $a>b\to\forall x(x>a\to x>b)$ (если $>$ — линейный порядок): верно $3>2\to3>0$, но также должны быть верны и $1>2\to1>0$ и $-1>2\to-1>0$, ибо следствие общезначимой формулы обязано быть общезначимым.

Dmitriy40 в сообщении #1233326 писал(а):

на примере вкурил ошибочность упрощения до "уровня скобочек"

Да не, почему, так можно работать. Я вон код писал для наследственно конечных множеств. Если ввести на них вычислимый порядок, можно представлять их такими нормализованными строками скобочек, операции с которыми довольно просты. Хотя чуть проще нормализованными же ордеревьями с упорядоченными поддеревьями. Но изоморфизм-то прозрачен.

[Dmitriy40]

(Смысл в тумане)

arseniiv в сообщении #1233331 писал(а):

Я вон код писал для наследственно конечных множеств. Если ввести на них вычислимый порядок, можно представлять их такими нормализованными строками скобочек, операции с которыми довольно просты. Хотя чуть проще нормализованными же ордеревьями с упорядоченными поддеревьями. Но изоморфизм-то прозрачен.

Не, я Вас конечно люблю и уважаю, но Вы меня переоцениваете. От этой фразы туман в башке ровно такой же плотности, как от формул ОТО без знания тензоров или квантмеха без комплексных чисел - слова вроде и понятны, но в общий смысл в принципе не складываются.