Уровень логической культуры составителей олимпиадных задач

[Ktina]

В одном из сборников олимпиадных задач встречаю следующую:

На доске написаны три числа: 4, 7, 13.
Разрешается стереть одно из чисел и вместо него записать на доске разность между удвоенным стертым числом и одним из двух других чисел (например, из тройки (4, 7, 13) может получиться тройка (4, 1, 13)).
Эту операцию провели несколько раз. Может ли одно из чисел оказаться равным: а) 2002; б) 2003?

Меня поразило решение, предлагаемое автором сборника:

Каждое число данной тройки при делении на 3 дает в остатке 1. Эта особенность
инвариантна, т. е. новая тройка чисел имеет такое же свойство. Значит, число 2002
может, а число 2003 не может.

Что значит "значит"? А разве пример, доказывающий возможность получения числа 2002, не нужен?
Это же каким уровнем логической культуры нужно обладать, чтобы решать задачи подобным образом?!

Ваше мнение?

[TOTAL]

Цитата:

Каждое число данной тройки при делении на 3 дает в остатке 1. Эта особенность
инвариантна, т. е. новая тройка чисел имеет такое же свойство.

Новаая тройка может не иметь такого же свойства: $13-4 \times 2 = 5$

[Aritaborian]

Ktina в сообщении #1222163 писал(а):

Разрешается стереть одно из чисел и вместо него записать на доске разность между удвоенным стертым числом и одним из двух других чисел

TOTAL, в вашем примере наоборот.

[PETIKANTROP]

В условии ничего не говорится про натуральность разности, как и полученных чисел тройки. Ничто не запрещает удвоить 4 и вычесть из полученного произведения 13:
4*2-13=-5,
а затем совершать действия над "-5":
-5*2-7=3

[provincialka]

У числа -5 остаток от деления на 3 тоже 1, в чем проблема?

PETIKANTROP в сообщении #1222204 писал(а):

-5*2-7=3

Разве? Интересное равенство!

$2(3k+1)-(3m+1) =3(2k-m)+1$

Ktina
Да, пример нужен. Ну, может это просто указание к решению?

[Albert61]

Ktina в сообщении #1222163 писал(а):

В одном из сборников олимпиадных задач встречаю следующую:

На доске написаны три числа: 4, 7, 13.
Разрешается стереть одно из чисел и вместо него записать на доске разность между удвоенным стертым числом и одним из двух других чисел (например, из тройки (4, 7, 13) может получиться тройка (4, 1, 13)).
Эту операцию провели несколько раз. Может ли одно из чисел оказаться равным: а) 2002; б) 2003?

Меня поразило решение, предлагаемое автором сборника:

Каждое число данной тройки при делении на 3 дает в остатке 1. Эта особенность
инвариантна, т. е. новая тройка чисел имеет такое же свойство. Значит, число 2002
может, а число 2003 не может.

Что значит "значит"? А разве пример, доказывающий возможность получения числа 2002, не нужен?
Это же каким уровнем логической культуры нужно обладать, чтобы решать задачи подобным образом?!

Ваше мнение?

Какие здесь вы видите противоречия?Доказательство каких в математике много.

[Aritaborian]

Albert61 в сообщении #1222281 писал(а):

Какие здесь вы видите противоречия?

Очевидные. Мы доказали, что могут появиться только числа вида $3k+1$. Но не доказали, что может появиться каждое такое число.

[Лукомор]

PETIKANTROP в сообщении #1222204 писал(а):

-5*2-7=3

С точки зрения арифметики, несколько вернее было бы написать:
$-5\cdot2-7=-17$

[PETIKANTROP]

Лукомор в сообщении #1222313 писал(а):

С точки зрения арифметики, несколько вернее было бы написать:
$-5\cdot2-7=-17$

provincialka в сообщении #1222241 писал(а):

Разве? Интересное равенство!

Угу))) Чёрт попутал!

[provincialka]

Ktina
А вот вы и разьеритесь, какие числа вида $3k+1$ можно получить таким процессом. И какие тройки! Вот вам и Задача .

[Лукомор]

provincialka в сообщении #1222364 писал(а):

какие числа вида $3k+1$ можно получить таким процессом

И за какое минимальное число "ходов" можно получить 2002?!
Тоже хороший вопрос...

[Aritaborian]

Можно построить дерево решений. Из каждой вершины выходят три ребра полдюжины рёбер... Только оно оч. быстро разрастётся. Вечером попробую закодить. (Кстати, будет ли оно именно деревом? Сейчас совершенно лень это прикидывать.)

[mihaild]

За $8$ ходов $2002$ получить можно, быстрее нельзя (даже если разрешить выходить в отрицательные).

(4, 7, 13)
(4, 7, 22)
(4, 7, 37)
(4, 7, 67)
(4, 7, 130)
(4, 7, 256)
(4, 7, 505)
(4, 7, 1003)
(4, 7, 2002)