Велосипедист и ветер

[DimaM]

Прошу оценить задачку на предмет корректности.

С горки с углом наклона $\alpha$ велосипедист едет против ветра с той же максимальной скоростью $v$, что и в горку по ветру. С какой максимальной скоростью сможет ехать велосипедист по ровной дороге без ветра?
Скорость ветра $u$.

[realeugene]

Если велосипед с большим количеством скоростей скоростей, то корректная.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1207816 писал(а):

Если велосипед с большим количеством скоростей скоростей, то корректная.

Ну тогда можно решать

[realeugene]

(ответ)

$\sqrt{v^2+u^2}$

PS Не, глупо ошибся. Нельзя решать школьные задачи не проснувшись

(правильный ответ)

$\sqrt[3]{v^3+3vu^2}$

(самый правильный ответ)

$$\sqrt[3]{v^3+vu^2}$$

[DimaM]

realeugene
У меня другой ответ получился. Можете свое решение написать?

(Оффтоп)

Еще ответы разные в случаях $u<v$ и $u>v$.

[EtCetera]

Я прошу прощения за очень глупый вопрос, но какой подразумевается закон для зависимости силы сопротивления воздуха от скорости? realeugene вроде бы сначала использовал квадратичный...
Есть также легкое ощущение, что при таких скоростях ветра велосипедист просто не удержится в седле.

[DimaM]

EtCetera в сообщении #1207828 писал(а):

Я прошу прощения за очень глупый вопрос, но какой подразумевается закон для зависимости силы сопротивления воздуха от скорости?

Квадратичный.

EtCetera в сообщении #1207828 писал(а):

Есть также легкое ощущение, что при таких скоростях ветра велосипедист просто не удержится в седле.

При каких "таких"? Против 10 м/с вполне едется. Хуже как раз боковой ветер.

[realeugene]

(решение)

Cила сопротивления ветра пропорциональна квадрату скорости ветра $C\left(v\pm u\right)^2$.
Мощность потерь на сопротивление ветра равна силе умножить на скорость $C v \left(v\pm u\right)^2$
Если велосипед с большим количеством скоростей, то максимальную скорость ограничивает мощность на педалях, которую может развить велосипедист. Зависимостью трения в трансмиссии от выбранной скорости и трением качения пренебрегаем, тогда передаваемая велосипеду механическая мощность равна $P=C v_0^3$.
Кроме этого, мощность работы силы тяжести при езде по горке равна $\pm W$, так как угол наклона и скорость одинаковы.
Кинетическая энергия в каждом случае постоянна.
Записываем два закона сохранения энергии: $C v \left(v\pm u\right)^2=\pm W + P$. Суммируем их, избавляясь от $W$, дальше всё тривиально.

[EtCetera]

DimaM в сообщении #1207830 писал(а):

При каких "таких"?

Которые нужны для соблюдения вот этого условия:

DimaM в сообщении #1207809 писал(а):

С горки с углом наклона $\alpha$ велосипедист едет против ветра с той же максимальной скоростью $v$, что и в горку по ветру.

Впрочем, тут нужно считать, конечно.

Если не учитывать трение качения и трение в педалях/каретке/трансмиссии/втулках, при $u\le v$ получается что-то вроде $\sqrt{\frac{v^2+u^2}{\cos\alpha}}$.

[DimaM]

realeugene
Теперь согласен.

(Оффтоп)

Это для случая $u<v$.

-- 09.04.2017, 16:25 --

EtCetera в сообщении #1207835 писал(а):

Если не учитывать трение качения и трение в педалях/каретке/трансмиссии/втулках, при $u\le v$ получается что-то вроде $\sqrt{\frac{v^2+u^2}{\cos\alpha}}$.

Не-а.

(Оффтоп)

Угол дан исключительно для запутывания школьника .

[realeugene]

DimaM в сообщении #1207836 писал(а):

(Оффтоп)

Это для случая $u<v$.

Да.

[EtCetera]

Рискну устроить в теме филиал раздела ПР/Р.

Я правильно понимаю, что при $u>v$ получается $\sqrt[3]{2uv^2}$ по методу realeugene (если, конечно, считать, что велосипедист на велосипеде спереди и сзади выглядит одинаково)?

Также мне не совсем ясно, почему по умолчанию справедливо предположение о том, что

realeugene в сообщении #1207833 писал(а):

максимальную скорость ограничивает мощность на педалях, которую может развить велосипедист

В задаче ничего не сказано о качестве поверхности, по которой движется велосипедист. В случае, если коэффициент трения скольжения невелик, то велосипедист просто не сможет реализовать свою мощность. И тогда в качестве ограничения на максимальную скорость будет выступать сила трения скольжения, а ответ будет зависеть от угла наклона горки. Я не прав?

[DimaM]

EtCetera в сообщении #1207862 писал(а):

Я правильно понимаю, что при $u>v$ получается $\sqrt[3]{2uv^2}$ по методу realeugene (если, конечно, считать, что велосипедист на велосипеде спереди и сзади выглядит одинаково)?

Да.

EtCetera в сообщении #1207862 писал(а):

В случае, если коэффициент трения скольжения невелик, то велосипедист просто не сможет реализовать свою мощность.

На велосипеде такое бывает разве что по обледенелой дороге (ну или в грязи, но там учет только сопротивления воздуха определенно неверен).

EtCetera в сообщении #1207862 писал(а):

И тогда в качестве ограничения на максимальную скорость будет выступать сила трения скольжения, а ответ будет зависеть от угла наклона горки. Я не прав?

Для случая очень крутой горки вы правы. Но мы такие рассматривать не будем. Да там и другие проблемы, например, удержать равновесие.

[EtCetera]

DimaM в сообщении #1207866 писал(а):

EtCetera в сообщении #1207862 писал(а):

В случае, если коэффициент трения скольжения невелик, то велосипедист просто не сможет реализовать свою мощность.

На велосипеде такое бывает разве что по обледенелой дороге (ну или в грязи, но там учет только сопротивления воздуха определенно неверен).

А также при встрече с твердым грунтом или асфальтом, слегка присыпанными песком. На популярных сейчас "горных" велосипедах с относительно широкими покрышками и низким давлением в них (порядка 2–2,5 атм) такая ситуация должна довольно редко возникать, но вот если иметь в виду более классический формат велосипеда с узкими покрышками и давлением в них от 3,5–4 атм, то... На шоссейном велосипеде с еще более узкими покрышками (к тому же без водоотводящих канавок) сцепление с поверхностью катастрофически падает на обычном асфальте, слегка смоченном водой. Правда, я сильно сомневаюсь, что для такого типа поверхностей будет хоть в какой-то степени справедлива школьная формула силы трения скольжения.

DimaM в сообщении #1207866 писал(а):

EtCetera в сообщении #1207862 писал(а):

И тогда в качестве ограничения на максимальную скорость будет выступать сила трения скольжения, а ответ будет зависеть от угла наклона горки. Я не прав?

Для случая очень крутой горки вы правы. Но мы такие рассматривать не будем. Да там и другие проблемы, например, удержать равновесие.

В вышеуказанных случаях легко добиться пробуксовки колес велосипеда, стоя на месте на горизонтальной поверхности.

[DimaM]

EtCetera
Очевидно, что при наличии проскальзывания предположение о работе исключительно силы тяжести и сопротивления воздуха будет неверно.
Также не будем рассматривать гонки по Марсу и Юпитеру и тому подобную экзотику.

EtCetera в сообщении #1207876 писал(а):

На популярных сейчас "горных" велосипедах с относительно широкими покрышками и низким давлением в них (порядка 2–2,5 атм) такая ситуация должна довольно редко возникать

На таких есть заметные потери мощности на деформацию покрышек (трение качения). Это тоже выходит за рамки предложенной задачи.