Велосипедист и ветер

[realeugene]

DimaM в сообщении #1207866 писал(а):

Для случая очень крутой горки вы правы. Но мы такие рассматривать не будем.

В олимпиадных задачах обычно при решении требуется самостоятельно сделать набор допущений, таких, чтобы задача всё ещё решалась, но решение оказалось единственным. В правильном решении такие допущения, в конце концов, должны совпасть с допущениями, сделанными авторами задачи. Понимание образа мышления жюри и критериев выставления оценок за этапы решения даёт участнику большую фору.

[dovlato]

А что у велосипедиста постоянно: сила тяги или мощность?
Мощность, наверное. У меня вышла дурацкая дробь с четвёртыми и пр. степенями.

[realeugene]

Пусть $M\left(\omega\right)$ - максимальный момент, который может развить велосипедист на педалях в зависимости от угловой скорости их вращения. Считаем его постоянным по углу поворота педалей. Тогда $P\left(\omega\right)=\omega M\left(\omega\right)$ - максимальная развиваемая мощность в зависимости от скорости вращения. Если скоростей у велосипеда много, то угловую скорость вращения можно выбирать независимо и в пределе непрерывно. Выберем $\omega_{\max}=\arg \max P\left(\omega\right)$. Тогда $P_{\max}=P\left(\omega_{\max}\right)$ - достижимое глобальное ограничение мощности, не зависящее от условий движения. Это ограничение достижимо, вообще говоря, всегда при одной и той же скорости вращения педалей вне зависимости от скорости движения велосипеда.

[DimaM]

dovlato в сообщении #1208421 писал(а):

А что у велосипедиста постоянно: сила тяги или мощность?

Мощность.

realeugene в сообщении #1208433 писал(а):

Это ограничение достижимо, вообще говоря, всегда при одной и той же скорости вращения педалей вне зависимости от скорости движения велосипеда.

У реального велосипеда - в некоторых пределах скорости, потому что диапазон передаточных чисел ограничен.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1208515 писал(а):

У реального велосипеда - в некоторых пределах скорости, потому что диапазон передаточных чисел ограничен.

Ага. У реального велосипеда и коэффициент трения резины по асфальту ограничен. Это уже обсуждалось.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1208566 писал(а):

У реального велосипеда и коэффициент трения резины по асфальту ограничен.

(Оффтоп)

Это-то как раз не критично - по сухому асфальту фиг сорвешь заднее колесо в скольжение. А вот выдать полную мощность на околонулевой скорости - увы.

[Geen]

https://www.youtube.com/watch?v=3Iz7ZMALaCY кажется в тему

[dovlato]

Похоже на правду. Смешно очень.

[Батороев]

DimaM в сообщении #1207809 писал(а):

Прошу оценить задачку на предмет корректности.

На мой взгляд, задача не решабельна, т.к. не достаточно исходных данных.
Если считать, как предлагает realeugene, то коэффициент пропорциональности силы ветра от квадрата его скорости и коэффициент зависимости тяговой мощности от куба скорости велосипедиста не равны. Первый зависит от проекции велосипедиста в плоскости, нормальной вектору скорости ветра (в этом плане показательна ссылка Geen'a), второй от других параметров (например, массы велосипедиста).
Если принять их разными, то они никак не сократятся.

realeugene в сообщении #1207833 писал(а):

Мощность потерь на сопротивление ветра равна силе умножить на скорость $C v \left(v\pm u\right)^2$

Мощность ветра пропорциональна кубу скорости ветра. Если для велосипедиста относительная скорость ветра: $\left(u\pm v\right)$ (скорость ветра должна быть больше скорости велосипедиста, иначе он не "догонит" велосипедиста при подъеме), то мощность потерь на ветер очевидно будет равна: $C \left(u\pm v\right)^3$.

[DimaM]

Батороев в сообщении #1209522 писал(а):

Если считать, как предлагает realeugene, то коэффициент пропорциональности силы ветра от квадрата его скорости и коэффициент зависимости тяговой мощности от куба скорости велосипедиста не равны.

Мощность пропорциональна кубу скорости велосипедиста только при езде по ровной дороге без ветра. В остальных случаях зависимость другая.

Батороев в сообщении #1209522 писал(а):

Если для велосипедиста относительная скорость ветра: $\left(u\pm v\right)$ (скорость ветра должна быть больше скорости велосипедиста, иначе он не "догонит" велосипедиста при подъеме)

Не должна (хотя в решении realeugene только этот случай разобран).

Батороев в сообщении #1209522 писал(а):

мощность потерь на ветер очевидно будет равна: $C \left(u\pm v\right)^3$

Разумеется, нет.

[Батороев]

DimaM в сообщении #1209628 писал(а):

Мощность пропорциональна кубу скорости велосипедиста только при езде по ровной дороге без ветра. В остальных случаях зависимость другая.

Вы не правы. Мощность ветра всегда кубична скорости полета молекул воздуха на велосипедиста, будь это езда в безветрие, будь это ветер, дующий на неподвижного велосипедиста, будь это какой-либо промежуточный вариант.

DimaM в сообщении #1209628 писал(а):

Не должна (хотя в решении realeugene только этот случай разобран).

Т.е. Вы полагаете, что при подъеме в гору ветер может отставать от велосипедиста?!

DimaM в сообщении #1209628 писал(а):

Разумеется, нет.

В случае ураганного ветра минимизация скорости велосипедиста не ведет к какому-либо существенному снижению мощности воздействия ветра.

[realeugene]

Батороев в сообщении #1209640 писал(а):

Вы не правы. Мощность ветра всегда кубична скорости полета молекул воздуха на велосипедиста, будь это езда в безветрие, будь это ветер, дующий на неподвижного велосипедиста, будь это какой-либо промежуточный вариант.

А вы, точно, инженер-механик? Чему равна работа силы?

[DimaM]

Батороев в сообщении #1209640 писал(а):

Вы не правы. Мощность ветра всегда кубична скорости полета молекул воздуха на велосипедиста, будь это езда в безветрие, будь это ветер, дующий на неподвижного велосипедиста, будь это какой-либо промежуточный вариант.

Мощность ветра нас не волнует. Нам интересна мощность велосипедиста.

Батороев в сообщении #1209640 писал(а):

Т.е. Вы полагаете, что при подъеме в гору ветер может отставать от велосипедиста?!

Почему нет?

Батороев в сообщении #1209640 писал(а):

В случае ураганного ветра минимизация скорости велосипедиста не ведет к какому-либо существенному снижению мощности воздействия ветра.

Эмоций лучше поменьше, а матана, наоборот, побольше. Какую, например, нужно развивать мощность для движения с нулевой скоростью?

[Батороев]

DimaM в сообщении #1209645 писал(а):

Какую, например, нужно развивать мощность для движения с нулевой скоростью?

Ваш вопрос убедил меня сделать переоценку. Действительно, нет движения, нет работы.

DimaM в сообщении #1209645 писал(а):

Почему нет?

Конечно можно считать, что скорость ветра, меньшая скорости велосипедиста - это для велосипедиста тот же ветер, но в обратном направлении, и угол наклона горки может приобретать отрицательные значения, но не будет соответствовать Вашему же условию:

DimaM в сообщении #1207809 писал(а):

с той же максимальной скоростью $v$, что и в горку по ветру.

realeugene в сообщении #1209644 писал(а):

А вы, точно, инженер-механик?

Я инженер-механик, но не специалист в области газогидродинамики. Поэтому наверное могу не очень понимать, почему в балансе мощностей составляющая от ветра присутствует не в полном объеме и куда исчезает ее избыток.

[realeugene]

Батороев в сообщении #1209676 писал(а):

Поэтому наверное могу не очень понимать, почему в балансе мощностей составляющая от ветра присутствует не в полном объеме и куда исчезает ее избыток.

Туда же, куда он исчезает и при сухом трении. В тепло.