От задачи Эйлера к теореме Ферма

[irnag]

Вопрос об отсутствии нулевых значений $x$ в задаче Эйлера о четырёх кубах, когда |$x$| - наименьшее из чисел четвёрки, удовлетворяющих уравнению Эйлера, переводит задачу Эйлера в ВТФ для остальных чисел четвёрки $y$,$z$, $w$. На полпути между этими задачами - анализ особенностей чисел в этих тройках в связи с конкретными особенностями числа $x$, например, когда $x$ - чётное число, кратное 3. В списке известных мне четвёрок этого вида при значениях $x$ 6; -12; -12; 12; -18; 18; -24; -30; 36; -42; хотя бы одно из чисел $y$, $z$, $w$ в каждой четвёрке простое, а при исключении сомножителей, содержащих степени 2 и 3, простых чисел два или три.
.Можно ли доказать, что это свойство распространяется на все четвёрки указанного вида, включая и важные для ВТФ четвёрки с равным нулю $x$? ( В доказательстве ВТФ существенно, что ни одно из чисел тройки, освобождённых от чётности и кратности трём, не может быть простым).

[irnag]

Три эйлеровские четвёрки,
-66...105...175 184
-72...115...165...178
-72...109...206...216
У чисел эйлеровских четвёрок с чётным и кратным трём $x$ есть ещё одна особенность - нарушения попарной взаимной простоты, которых не должно быть у чисел $y$,$z$, $w$ в доказательстве ВТФ.
Если исключить все четвёрки с нарушениями попарной взаимной простоты не только у чисел $y$, $z$, $w$, но и у чисел $x$,$y$, $z$, придём к частному для ВТФ случаю нечётных $y$, $z$ и чётного $w$, кратного 3. После исключения в списке остаётся только одна четвёрка
12....19....53....54
с простыми $y$,$z$.

[irnag]

При переходе от задачи Эйлера к ВТФ число $X$ не исчезает, а остаётся в четвёрках НУЛЁМ, который несёт ответственность за неизбежные нарушения попарной взаимной простоты, как, например, в четвёрке -66...105...175...184, или - за ПРОСТЫЕ в тройках чисел $y$,$z$,$w$, как, например, в четвёрке 12...19...53...54.

[irnag]

Замечание III П. Ферма к задаче 10 книги II "Арифметики" Диофанта: "Можно ли разделить число, состоящее из двух кубов, на другие два куба ? Ответ на этот трудный вопрос...мы дадим в замечаниях к задаче 2 книги !Y".
Это замечание следует сразу за знаменитым замечанием II к задаче 8 книги II , которое заканчивается словами: "...я обнаружил совершенно удивительное доказательство этого, но оно не умещается на узких полях". ( не "доказал" или "нашёл решение", а ОБНАРУЖИЛ (!?).
Обращаясь к замечанию в книге IY и к комментариям редактора И.Г. Башмаковой (стр.89, 214), можно заметить, что все примеры содержат рациональные решения с совпадающими знаменателями, что заведомо ведёт к нарушению взаимной простоты после приведения решений к целым числам. Однако известно, что в тройке чисел, претендующих быть решениями уравнения, не может быть невзаимнопростых пар.
Можно усмотреть своеобразный юмор или иронию, (а может быть, сомнение в эквивалентности задач), в том, что замечания на полях стоят рядом, а решения задач с 4-мя кубами отнесены на поля книги IY Диофанта.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

irnag
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.