2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Предел функции
Сообщение25.12.2016, 22:49 
Аватара пользователя
Помогите посчитать предел: $$\lim_{x \rightarrow 1} \left( \dfrac{m}{1-x^m} - \dfrac{n}{1-x^n}  \right)$$
Как здесь продвинуться? По Лопиталю? Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение25.12.2016, 23:00 
Сделать замену переменных и применить формулу бинома не пробовали?

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение25.12.2016, 23:58 
Аватара пользователя
Еще можно вспомнить, что $1-x^k=(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{k-1})$

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 04:28 
Аватара пользователя
Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):
Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

Неудивительно: чтобы решить такую задачу, надо перевоплотиться в "хирурга" второго уровня.

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 09:45 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

А кто такой "хирург" первого уровня?

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 10:58 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Тот, кто ограничивается вторым слагаемым ряда Тейлора.

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 11:35 
Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):
По Лопиталю?

А почему бы и нет.

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 12:29 
Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):
Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

Возможно, трудность в том, что когда вы применяете правило Лопиталя, вы не выносите $x^{-1}$ за скобку, например не видите, что $x^{m-1}-x^{n-1}=x^{-1}(x^m-x^n)$

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 12:40 
Там ничего не надо выносить, там надо тупо приводить к общему знаменателю. Это абсолютный стандарт, и размышлять тут не над чем.

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 12:48 
ewert в сообщении #1180190 писал(а):
Там ничего не надо выносить, там надо тупо приводить к общему знаменателю. Это абсолютный стандарт, и размышлять тут не над чем.

Если после приведения к общему знаменателю и первого применения Лопиталя не сократить дробь на $x^{-1}$ то жить потом конечно можно, но сложно. А если сократить -- то жить намного проще.

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 14:52 
Аватара пользователя
wrest в сообщении #1180191 писал(а):
не сократить дробь на $x^{-1}$
Да откуда у Вас там $x^{-1}$ берётся? Я привожу к общему знаменателю самым тупым образом, игнорируя любые разложения на множители, дифференцирую и не вижу никаких $x^{-1}$.

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 15:12 
Аватара пользователя
Someone, там действительно удобно выносить $x^{-1}$, даже лучше со знаком минус.

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 15:17 
Someone в сообщении #1180218 писал(а):
Я привожу к общему знаменателю самым тупым образом, игнорируя любые разложения на множители, дифференцирую и не вижу никаких $x^{-1}$.

Ну раз даже вы не видите... Хотя может у вас автопилот в голове это сам все сокращает.

Смотрите: $(x^m)'=mx^{m-1}=mx^{-1}x^{m}$
Я предположил, что у ТС возникли затруднения именно с этим, что $mx^{m-1}=x^{-1}mx^{m}$ Ведь если не скоращать, то вторая производная будет $(x^m)''=(mx^{m-1})'=m(m-1)x^{m-2}$

Возможно, у ТС затруднения с чем-то другим. Дифференцировать надо два раза, между дифференцированиями -- сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на $x^{-1}$

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 15:29 
Аватара пользователя
wrest в сообщении #1180222 писал(а):
$mx^{m-1}=mx^{-1}x^{m}$
Нафиг??? Чем Вам $x^{n-1}$ не дифференцируется?

 
 
 
 Re: Предел функции
Сообщение26.12.2016, 15:50 
Someone в сообщении #1180228 писал(а):
Чем Вам $x^{n-1}$ не дифференцируется?

Я просто порекомендовал ТС обратить внимание на то, что
$\dfrac{mnx^{n-1}-mnx^{m-1}}{(m+n)x^{m+n-1}-nx^{n-1}-mx^{m-1}}=\dfrac{mnx^m-mnx^n}{(m+n)x^{m+n}-nx^n-mx^m}}$

Может у вас в голове это автоматом все упрощается, и вы просто не понимаете откуда тут могут возникнуть затруднения? Может, вам вообще упрощения не нужны и вы сразу видите конечный ответ...

 
 
 [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group