Предел функции

[Joe Black]

Помогите посчитать предел:

$$\lim_{x \rightarrow 1} \left( \dfrac{m}{1-x^m} - \dfrac{n}{1-x^n} \right)$$

Как здесь продвинуться? По Лопиталю? Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

[dsge]

Сделать замену переменных и применить формулу бинома не пробовали?

[Brukvalub]

Еще можно вспомнить, что $1-x^k=(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{k-1})$

[SomePupil]

Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):

Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

Неудивительно: чтобы решить такую задачу, надо перевоплотиться в "хирурга" второго уровня.

[bot]

(Оффтоп)

А кто такой "хирург" первого уровня?

[SomePupil]

(Оффтоп)

Тот, кто ограничивается вторым слагаемым ряда Тейлора.

[ewert]

Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):

По Лопиталю?

А почему бы и нет.

[wrest]

Joe Black в сообщении #1180028 писал(а):

Честно говоря не думал, что он вызовет трудности

Возможно, трудность в том, что когда вы применяете правило Лопиталя, вы не выносите $x^{-1}$ за скобку, например не видите, что $x^{m-1}-x^{n-1}=x^{-1}(x^m-x^n)$

[ewert]

Там ничего не надо выносить, там надо тупо приводить к общему знаменателю. Это абсолютный стандарт, и размышлять тут не над чем.

[wrest]

ewert в сообщении #1180190 писал(а):

Там ничего не надо выносить, там надо тупо приводить к общему знаменателю. Это абсолютный стандарт, и размышлять тут не над чем.

Если после приведения к общему знаменателю и первого применения Лопиталя не сократить дробь на $x^{-1}$ то жить потом конечно можно, но сложно. А если сократить -- то жить намного проще.

[Someone]

wrest в сообщении #1180191 писал(а):

не сократить дробь на $x^{-1}$

Да откуда у Вас там $x^{-1}$ берётся? Я привожу к общему знаменателю самым тупым образом, игнорируя любые разложения на множители, дифференцирую и не вижу никаких $x^{-1}$.

[SomePupil]

Someone, там действительно удобно выносить $x^{-1}$, даже лучше со знаком минус.

[wrest]

Someone в сообщении #1180218 писал(а):

Я привожу к общему знаменателю самым тупым образом, игнорируя любые разложения на множители, дифференцирую и не вижу никаких $x^{-1}$.

Ну раз даже вы не видите... Хотя может у вас автопилот в голове это сам все сокращает.

Смотрите: $(x^m)'=mx^{m-1}=mx^{-1}x^{m}$
Я предположил, что у ТС возникли затруднения именно с этим, что $mx^{m-1}=x^{-1}mx^{m}$ Ведь если не скоращать, то вторая производная будет $(x^m)''=(mx^{m-1})'=m(m-1)x^{m-2}$

Возможно, у ТС затруднения с чем-то другим. Дифференцировать надо два раза, между дифференцированиями -- сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на $x^{-1}$

[Someone]

wrest в сообщении #1180222 писал(а):

$mx^{m-1}=mx^{-1}x^{m}$

Нафиг??? Чем Вам $x^{n-1}$ не дифференцируется?

[wrest]

Someone в сообщении #1180228 писал(а):

Чем Вам $x^{n-1}$ не дифференцируется?

Я просто порекомендовал ТС обратить внимание на то, что
$\dfrac{mnx^{n-1}-mnx^{m-1}}{(m+n)x^{m+n-1}-nx^{n-1}-mx^{m-1}}=\dfrac{mnx^m-mnx^n}{(m+n)x^{m+n}-nx^n-mx^m}}$

Может у вас в голове это автоматом все упрощается, и вы просто не понимаете откуда тут могут возникнуть затруднения? Может, вам вообще упрощения не нужны и вы сразу видите конечный ответ...