2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задача по механике
Сообщение16.06.2017, 16:11 


21/12/16
6
guryev в сообщении #1180990 писал(а):
Да, тут ещё про $\lim\limits_{t \to \infty}l(t)$ вопрос был.

нет, такого вопроса не было

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по механике
Сообщение19.06.2017, 13:55 


27/02/09
187
Erleker в сообщении #1222053 писал(а):
Выкидывая $w^2r^2$ и $-l^2\frac{2wdl}{rdt}$:
Выкинуть константу - правильно, а почему $-l^2\frac{2wdl}{rdt}$?

Erleker в сообщении #1222053 писал(а):
Но, интересно, наверное, все же решить "по-школьному"...
Попробуем.

Итак, пусть теормех и неинерциальные системы мы не знаем.

Определим:

Вектор $\mathbf{r}$ - радиус, проведённый из центра блока в точку отделения нити от блока.
Вектор $\mathbf{l}$ - вектор, проведённый из вышеупомянутой точки к грузу.
$\mathbf{R}$ - радиус-вектор груза.

На груз действует только сила натяжения нити. Следовательно, проекция ускорения груза на перпендикуляр к нити, равна нулю. А что у нас перпендикулярно нити? Вектор $\mathbf{r}$.
В результате $\ddot{\mathbf{R}}\mathbf{r}=0$

Ищем производные от $\mathbf{R}$.

Очевидно,$$\mathbf{R}=\mathbf{r}+\mathbf{l}$$Следовательно, $$d\mathbf{R}=d\mathbf{r}+d\mathbf{l}$$Ищем дифференциалы, старательно избегая векторных произведений, которые школьники не знают.

Смотрим, из чего состоит $d\mathbf{r}$. Это:
1. Если отмотался участок нити длиной $dl$, то к $\mathbf{r}$ прибавится $-d\mathbf{l}$
2. За счёт вращения блока к $\mathbf{r}$ прибавится $-r\omega\mathbf{e}_l dt$, где $\mathbf{e}_l$ - единичный вектор, сонаправленный с $\mathbf{l}$.

Теперь - приращение $d\mathbf{l}$. Туда входят:
1. Если отмотался участок нити длиной $dl$, то к $\mathbf{l}$ прибавится $d\mathbf{l}$.
2. Кроме этого, вектор $\mathbf{l}$ повернётся на угол $d\alpha=\frac{dl}{r}$, то есть к нему прибавится $l\frac{dl}{r}\mathbf{e}_r$, где $\mathbf{e}_r$ - единичный вектор, сонаправленный с $\mathbf{r}$.
3. И за счёт вращения блока к вектору $\mathbf{l}$ прибавится $l\omega\mathbf{e}_r dt$.

В итоге,$$d\mathbf{R}=l\frac{dl}{r}\mathbf{e}_r+(l\mathbf{e}_r-r\mathbf{e}_l)\omega dt$$
Обозначаем $\tau=\omega dt$, и с этого момента будем обозначать точкой производную не по $t$, а по $\tau$, и тогда $$\dot{\mathbf{R}}=\frac{l}{r}\dot{l}\mathbf{e}_r+l\mathbf{e}_r-r\mathbf{e}_l$$Дифференцируем его по $\tau$ ещё раз и умножаем скалярно на $\mathbf{e}_r$:$$\ddot{\mathbf{R}}\mathbf{e}_r=\frac{\dot{l}^2+l\ddot{l}}{r}+\dot{l}-r\dot{\mathbf{e}_l}\mathbf{e}_r=0$$Теперь, поскольку $\dot{\mathbf{e}_l}=(\frac{\dot{l}}{r}+1)\mathbf{e}_r$,$$\frac{\dot{l}^2+l\ddot{l}}{r}-r=0$$Обозначим $x=\frac{l}{r}$ и получим $$x\ddot{x}+\dot{x}^2-1=0$$ Решать дифуры (тем более, второго порядка) школьники не умеют. Но можно заметить, что $$x\ddot{x}+\dot{x}^2=\frac{d}{d\tau}(x\dot{x})$$ и просто пронтегрировать обе части уравнения: $$x\dot{x}-\tau=B,$$где $B$ - константа, которую можно найти из начальных условий: $$B=\frac{l_0 v}{r^2\omega},$$ если не наврал.
В свою очередь, $$x\dot{x}=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau}x^2,$$ то есть уравнение можно проинтегрировать ещё раз: $$x^2=\tau^2+2B\tau+A$$ $A$ тоже можно найти из начальных условий - кажется, $$A=\frac{l_0^2}{r^2}$$ ну и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по механике
Сообщение29.06.2017, 15:40 
Аватара пользователя


16/09/15
830
ФОПФ МФТИ
guryev в сообщении #1227034 писал(а):
Выкинуть константу - правильно, а почему $-l^2\frac{2wdl}{rdt}$?

Полные производные $d/dt$ по функциям от координат (тут оно интегрируется, ведь у нас же только $l$ переменная) тоже выкидываются, поскольку их вариация, при фиксированных концах траектории, равна нулю.

P.S.Решение понравилось, но все равно как-то сложно.Впрочем, проще, я думаю, тут никак.Все-таки задача явно не школьная получилась.

И по теме:
ТС вроде бы спрашивал про ее корректность.Я отвечаю, что вполне корректная задача.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group