Задача по механике

[drzewo]

эта содержательная задача или бред как они тут http://sfiz.ru/forums.php?m=posts&q=8557 пишут?

Диск радиуса $r$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega>0$ вокруг неподвижной оси. На диск намотана невесомая нерастяжимая нить на конце которой укреплена точечная масс $m$. Сила тяжести не действует (можно считать, что система лежит на гладкой горизонтальной плоскости) Длина свободного конца нити является функцией времени $l=l(t)$.
В начальный момент времени известна длина свободного конца нити $l_0=l(0)$ и скорость изменения длины нити $v=\dot l(0)$, причем известно, что $-\omega r<v<0$. Найти минимальную длину нити в процессе движения и предел $\lim_{t\to\infty}\dot l(t)$. Нить намотана в направлении противоположном направлению вращения диска

[drzewo]

ups

[Pphantom]

drzewo, замечание за искусственный подъем темы.

[amon]

drzewo в сообщении #1179021 писал(а):

Найти минимальную длину нити

Допустим, что такая минимальная отличная от нуля длина нити существует. Какую траекторию, по-вашему, при этом описывает тело массой $m$?

[drzewo]

ну я могу себе представить, что если в начале точку толкнуть влево (на рисунке) то нить будет сперва наматываться на барабан по часовой стрелке, а потом начнет сматываться с него

[wrest]

drzewo
из практического опыта мы знаем, что груз на веревочке можно раскрутить до любой угловой скорости.

интуитивно неясно, даже если за начальное условие принять длину размотанной нити за ноль, будет ли какой-то устоявшийся режим (хотя бы и колебательный) или нить в итоге вся смотается в бесконечность.

[drzewo]

Ну я, честно говоря, расчитывал, получить на этом форуме на какие-то содержательные комментарии по задаче, а то, что сейчас это тоже, что ничего.

[Батороев]

drzewo
У Вас в задаче есть небольшая сложность, а именно, определить начальные параметры, которые необходимы для получения величины кинетического момента системы. В виду того, что эта величина постоянная, найти затем параметры установившегося движения не трудно.
Указанная мной "небольшая сложность" заключается в том, что по величине "скорости сматывания нити" определить величину и направление скорости движения самого груза в начальный момент не так просто. Может быть, я и ошибаюсь.

[guryev]

Если минимум есть, то он равен

$$l_{min}=l_0\sqrt{1-\left(\frac{\dot{l}(0)}{\omega r}\right)^2}$$

[guryev]

Да, тут ещё про $\lim\limits_{t \to \infty}l(t)$ вопрос был. Конечного предела не получится. $l(t)$ будет неограниченно расти со временем, приближаясь сверху к асимптоте $r\omega t+l_0\frac{v}{\omega r}$.

[Erleker]

Извиняюсь за поднятие темы.
Пусть масса имеет скорость $u$.Она изменятся не должна.
Найдем скорость наматывания $dl/dt$.
Суть в том, что относительно прежней точки касания длина уменьшается на $wrdt$.Кроме того, смещается точка касания, на $r(u/l)dt$.
Что приводит к:
$dl=r(u/l+w)dt$
В начале:
$v=r(u/l_{0}+w)$
Откуда:
$u=(v/r-w)l_{0}$
$dl/dt=((v/r-w)l_{0}/l+w)$
При $dl/dt=0$:
$l=l_{min}=l_{0}(1-v/wr)$
($0<v<wr$- по модулю )

Или я чушь написал?

[guryev]

Erleker в сообщении #1221978 писал(а):

Пусть масса имеет скорость $u$.Она изменятся не должна.

Эээ... А почему?

[Erleker]

Если что, $u$ - это , я имел ввиду, перпендикулярная нити компонента скорости.$wr$ - по нити.

[guryev]

То, что проекция ускорения груза на любой перпендикуляр к нити равна нулю, верно. Но из этого не обязательно следует, что компонента скорости, перпендикулярная нити, постоянна. Нить же меняет направление.

[Erleker]

Я почему-то посчитал, что кинетическую энергию можно считать сохраняющийся, я не прав.

-- 04 июн 2017 19:19 --

Надо посчитать нормально.Связь $dl=r(u/l+w)dt$ остается в силе.
Кинетическая энергия равна лагранжиану $(m/2=1)$ :
$L=(u^2+w^2r^2)=(l^2(\frac{dl}{rdt}-w)^2+w^2r^2)$
Выкидывая $w^2r^2$ и $-l^2\frac{2wdl}{rdt}$:
$L=\frac{l^2dl^2}{r^2dt^2}+l^2w^2$
Сохраняться будет:
$E=\frac{l^2dl^2}{r^2dt^2}-l^2w^2$
Откуда , использую сохранение $E$, для $dl/dt=0$ выразим $l$ через начальное $dl/dt=v$ и $l=l_{0}$.
И тогда :
$l=l_{0}\sqrt{1-v^2/w^2r^2}$

-- 04 июн 2017 19:24 --

Но, интересно, наверное, все же решить "по-школьному"...