ТФКП, интеграл с полюсами на действительной оси

[Viktor92]

Cryo в сообщении #1190165 писал(а):

, с другой стороны я и сам ошибся - этот минус перед $x$ здорово путает.

Мне кажется в прошлый раз наоборот вы были правы , я сейчас ещё раз провел выкладки и у меня опять получился прежний ответ. Это можно проверить и не мучаясь беря интегралы с заменами, а просто применить лемму, о которой я упоминал в 1-ом посте.

Cryo в сообщении #1190165 писал(а):

Я согласен что главное значение интеграла будет одним и тем же как его не бери, но я почему вы думаете что вам нужно именно оно?

Ну я просто исхожу вроде как из определения обратного преобразования Фурье, где интеграл должен пониматься в смысле главного значения насколько я помню. Или быть может тут надо понимать обратное преобразование Фурье в каком-то другом смысле, о котором я не знаю, т.к. слабо знаком с функциональным анализом и обобщенными функциями.

Cryo в сообщении #1190165 писал(а):

Мало того, я почти уверен что Грин-функция полученная через главное значение не будет каузальной

Она получается запаздывающей, с этим всё хорошо, лишь появляется множитель $\frac 1 2$, в отличии от функции Грина в учебниках.

Cryo в сообщении #1190165 писал(а):

Вас не смущает что при вашем подходе вы получите одну Грин-функцию которая будет генерировать лишь одно решение?

Это интересный вопрос, вообще я не знаю в литературе где можно про это почитать, но явно же есть какие-то ограничения на нахождения функции Грина методом преобразования Фурье, быть может он нам дает не все решения диффура, а только одно и нам повезло - оно запаздывающее)).
P.S. Не подскажите , в какой программе вы делаете иллюстрации? Мне понравился стиль оформления)

[Cryo]

Viktor92 в сообщении #1190357 писал(а):

Мне кажется в прошлый раз наоборот вы были правы , я сейчас ещё раз провел выкладки и у меня опять получился прежний ответ. Это можно проверить и не мучаясь беря интегралы с заменами, а просто применить лемму, о которой я упоминал в 1-ом посте.

Согласен. В первый раз было верно Зачем здесь вообще использовать какие-то леммы? Всё ясно и без них, а с леммами вам всегда надо помнить условия для их применимости.

Viktor92 в сообщении #1190357 писал(а):

Ну я просто исхожу вроде как из определения обратного преобразования Фурье, где интеграл должен пониматься в смысле главного значения насколько я помню. Или быть может тут надо понимать обратное преобразование Фурье в каком-то другом смысле, о котором я не знаю, т.к. слабо знаком с функциональным анализом и обобщенными функциями.

Я такого как раз не помню (PV для Фурье), поэтому и предпочитаю обходить сложные моменты тем способом что я показал. Вот вам цитата из моего справочника по электромагнетизму (Jackson, Classical Electrodynamics 3rd ed., Chap 12, Sec. 11, в районе уравнения 12.128), он там как раз получает Грин-функцию через Фурье и доходит до сингулярного интегранда

"Because the integrand in (12.128) is singular, the expression as it stands is
ambiguous and is given definite meaning only by the handling of the singularities."

Мой вольный перевод: В связи с тем что интегранд сингулярный выражение 12.128, в текущем виде, неопределено и может стать определённым лишь при правильном обращением с сингулярностями.

Чуть дальше ещё это.

"The integrand has two simple poles, at $k_0=\pm \kappa$ as shown in Fig. 12.7. Green functions that differ in their behavior are obtained by choosing different contours of integration relative to the poles."

Мой перевод. Интегранд имеет два простых полюса в точках $k_0=\pm \kappa$. Грин-функции с разными поведениями получаются при выборе разных контуров интеграции относительно полюсов.

Один контур обходит полюса сверху - это будет retarded Green function, другой снизу - advanced Green function. Главное значение нигде не упомянается.

Цитата:

Она получается запаздывающей, с этим всё хорошо, лишь появляется множитель $\frac 1 2$, в отличии от функции Грина в учебниках.

Под каузальной я имел ввиду что Грин-функция зануляется для будущего. Тоесть пускай у нас retarded Green function $G(x,t,x',t')=G(x-x',t-t')$ тогда то что я понимал под каузальностью это то что $G=0$ при $t<t'$ из чего следует что для поля $\varphi$ порождённого источником $\rho$,

$\varphi(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dt'\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx' G(x-x',t-t')\rho(x',t')=\int\limits_{-\infty}^{t}dt'\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx' G(x-x',t-t')\rho(x',t')$

Тоесть поведение источника в будущем не влияет на поле сейчас.

Цитата:

P.S. Не подскажите , в какой программе вы делаете иллюстрации? Мне понравился стиль оформления)

Опенсорсный Inkscape - просто редактор векторной графики.

[Metford]

(Оффтоп)

Cryo в сообщении #1190461 писал(а):

Опенсорсный

Я в восторге...