Отрезок скользит внутри угла. Найти множество его середин

[NL0]

Отрезок $AB$ скользит своими концами по сторонам угла $C$, найти множество середин отрезка.

Ну я так понимаю, что длина отрезка остается постоянной?

$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=\operatorname{const}$

Но как? С чего начать? Подскажите, пожалуйста!

-- 02.10.2016, 01:35 --

На первый взгляд -- на биссектриссе, но это на первый взгляд, построение различных окружностей и различных отрезков одной длины с концами на сторонах угла -- не помогли

[arseniiv]

Предельные положения отрезка дают точки, лежащие на сторонах угла и не являющиеся его вершиной — у биссектрисы таких действительно нет!

Если пошли аналитическим путём, запишите теперь, что точки лежат на сторонах угла. Одна сторона может лежать на оси абсцисс, а вершина угла совпадать с началом координат.

[NL0]

Спасибо. В таком случае, у одного конца отрезка координаты $(x_1,0)$, у второго $(x_2,y_2)$, у середины отрезка $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1}{2}\right)$.

$(x_2-x_1)^2+y_1^2=\operatorname{const}$

Дальше пока что не ясно что делать...

Но я хотел геометрическим способом, но там совсем не очевидно.

[gris]

Почему не очевидно? Во-первых, длина отрезка не просто константа, а имеет некоторое значение, например, $L$. И угол не просто $C$, а имеет величину, например, $\varphi$. Отрезок со сторонами угла образует некоторую фигуру, а отрезок, соединяющий вершину угла с серединой $L$ тоже можно как-то использовать. Ну и как-то определите параметр, определяющий положение отрезка в угле. Может быть, угол со стороной.
Теорема синусов может пригодиться. Для прямого угла посмотрите, как просто получается.

[NL0]

Хорошо, спасибо, точно, разобрался. А как геометрически-таки, там как можно начинать?

[gris]

Если угол прямой, то медиана всегда равна половине отрезка. А если не прямой, то можно подумать о преобразовании плоскости. Можно достроить треугольник до параллелограмма и понаблюдать за диагоналями. Ну, конечно, координатный способ проще всего.

[sa233091]

Если угол прямой, то - дуга окружности. Если не прямой, то - дуга эллипса.

[NL0]

gris в сообщении #1156452 писал(а):

Если угол прямой, то медиана всегда равна половине отрезка. А если не прямой, то можно подумать о преобразовании плоскости. Можно достроить треугольник до параллелограмма и понаблюдать за диагоналями. Ну, конечно, координатный способ проще всего.

Спасибо, в случае прямого угла действительно ясно, что будет окружность, так как всегда середины отрезка будут находится на расстоянии, равном половине отрезка.

А какое преобразование плоскости нужно сделать? Пока что это не понимаю.

[arseniiv]

Аффинное, которое переводит вершину угла в себя, а угол в прямой (при этом для удобства снова одну сторону можно оставить на месте). Правда, тут становится видно, что если угол был развёрнутый или нулевой, это не прокатит, и эти вырожденные случаи надо рассмотреть отдельно. В них получается либо луч, либо отрезок.

-- Вс окт 02, 2016 19:00:38 --

Собственно, тут достаточно только знать, что существует аффинное преобразование, переводящее ненулевой меньший развёрнутого угол в прямой, и что образ окружности при аффинном преобразовании — эллипс. Хотя можно развернуть.

[Munin]

Боюсь, аффинное преобразование преобразует равные отрезки в неравные, так что решение, предлагаемое gris и arseniiv, неверно.

[Otta]

Аффинные преобразования сохраняют отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.

[svv]

Munin прав. Если до аффинного преобразования отрезок скользил концами по сторонам непрямого угла, сохраняя длину, то после он будет скользить по сторонам прямого угла, меняя при этом длину. Такая ситуация не проще исходной.

[Otta]

А, да. )) А я за середину уцепилась. ) Надо еще пофантазировать.

[arseniiv]

svv в сообщении #1156590 писал(а):

Если до аффинного преобразования отрезок скользил концами по сторонам непрямого угла, сохраняя длину, то после он будет скользить по сторонам прямого угла, меняя при этом длину.

Упс. Признаю́, поддался на искушение и не заметил. То-то всё как-то чересчур красиво вышло…

[DeBill]

Если уж делать аналитически (а ниче другое, похоже, не проходит), лучше оси координат направить по биссктрисам нашего угла (внутренней и внешней) - тогда сразу вылезит каноническое ур-е еллипса.
И воопче понятно, что картинка симметрична относительно этих биссектрис (а вместо лучей - рисуем прямые). И тогда полуоси сразу находятся: они соответствуют положениям отрезка, перпендикулярно биссектрисам (концам отрезка разрешим проезжать за вершину угла). Но чисто геометрически - увы...