Отрезок скользит внутри угла. Найти множество его середин

[sa233091]

NL0 в сообщении #1156416 писал(а):

Хорошо, спасибо, точно, разобрался. А как геометрически-таки, там как можно начинать?

А если угол произвольный, то по Т. Косинусов длинну отрезка приравниваете к константе

[AlexValk]

После идеи DeBill до геометрического решения осталось полшага:
1. Однородное растяжение/сжатие плоскости вдоль биссектрисы угла, так чтобы угол стал прямым (при этом параллельные отрезки, равные до преобразования остаются равными и после).
2. Для прямого угла искомое ГМТ - окружность (как неоднократно упоминалось выше), поскольку половина гипотенузы равна опущенной на нее медиане.
2. Обратное сжатие/растяжение вдоль биссектрисы, чтобы угол вернулся к прежней величине. И вуаля - окружность превращается в эллипс.

[gris]

Уже говорили, что при этом длина отрезка меняется. Тут ещё можно заметить, что внутри острого угла движение концов отрезка будет совсем не таким, как в прямом и тупом угле. Соответствующее квадратное уравнение в случае острого угла может иметь два решения. Хотя при переходе от угла к кресту всё налаживается

[AlexValk]

Уточнил после замечания gris (добавил слово параллельные):
Да длина меняется, но параллельные отрезки равные до преобразования, останутся равными и после. В частности, медиана останется медианой.

[Munin]

А вот ГМТ перестанет быть ГМТ.

[AlexValk]

Munin в сообщении #1156818 писал(а):

А вот ГМТ перестанет быть ГМТ.

Это наверное шутка. Но все же отвечу
Конечно. Она станет ГМТ преобразованной задачи - "Отрезок скользит своими концами по сторонам прямого угла, найти множество середин отрезка", а после обратного преобразования вернется к ГМТ исходной задачи.

[gris]

Может быть поискать какие-то инварианты? Например, окружность, описанная около вершины угла и концов отрезка, имеет постоянный радиус из-за постоянства угла и длины противолежащей стороны. А как она катается при скольжении отрезка? Похоже, что что изнутри некоторой большой окружности. Вообще, эта штука, если угол представить прорезями в пластине, а отрезок рейкой с болтами на концах, очень похожа на эллипсограф

AlexValk, рассмотрим наш косой крест и единичный отрезок, который в нём крутится. Середина отрезка пробегает эллипс. Каждому положению отрезка соответствует ровно одна точка этого эллипса. Теперь проведём аффинное преобразование плоскости, которое делает малую ось нашего эллипса равной большой оси. Мы знаем, что это растяжение вдоль биссектрисы тупого угла. Наш эллипс превращается в окружность. А что с углом? Перешёл ли он в прямой угол?
А если растяжением угол перевести в прямой, то перейдёт ли эллипс в окружность?

[Munin]

AlexValk
Ещё раз. Аффинным преобразованием задача преобразуется в другую задачу, где отрезок не скользит. Увы. Это не шутка.

[svv]

AlexValk в сообщении #1156787 писал(а):

В частности, медиана останется медианой.

Но уже не того отрезка, который нужен.

[gris]

А почему не скользит? Скользит, непрерывно меняя длину.
Мне кажется, что не существует аффинного преобразования переводящего одновременно наш угол в прямой, а соответствующий эллипс в окружность.

[Munin]

Не "скользит как твёрдое тело". Не остаётся равным самому себе (конгруэнтным).

[DeBill]

gris в сообщении #1156854 писал(а):

Мне кажется, что не существует аффинного преобразования переводящего одновременно наш угол в прямой, а соответствующий эллипс в окружность.

Похоже на то...
Касательная к нашему ГМТ в точке его пересечения со стороной (острого) угла НЕ параллельна другой стороне. А для прямого - параллельна....

[Munin]

DeBill
Так вы довели до конца аналитическое вычисление, или нет?

[DeBill]

Munin
Да. Но, вроде, здесь его писать низя?

(Оффтоп)

Если стороны угла - прямые $y=\pm kx, $ а длина отрезка с концами $(x_1,kx_1),(x_2,-kx_2)$ равна $2L$, то имеем $(x_1 -x_2)^2 + (kx_1+kx_2)^2 = 4L^2$. Тогда для середины $(u,v)$ отрезка получим $u = \frac{x_1+x_2}{2}, v= k\frac{x_1-x_2}{2}$, так что $\frac{v^2}{k^2} + k^2 u^2 =L^2$...

[Munin]

DeBill
Спасибо! Но действительно, стоило ограничиться одним лишь "да". Хотя я благодарен за решение, кое-что прояснилось.