Вопрос по теории групп.

[shtoplizc]

Цикличная ли группа $Z_{10}^*$ ? Читал, что каждая группа простого порядка цикличная. Тогда, $Z_{10}^*$ = {$\bar{1}$, $\bar{3}$, $\bar{7}$, $\bar{9}$}, те порядок группы равен 4. 4- число составное, делаю вывод, что данная группа не цикличная.
Однако, попалась мне теорема гаусса, из которой следует, что данная группа цикличная, если $n=1, 2, 4, p^k, 2p^k$, где p- непарное простое, а k- натуральное. Тогда $10= 2\cdot5^1$. Группа оказывается цикличная. Где ошибка? И еще, может кто-нибудь знает точную формулировку этой теоремы?

[arseniiv]

shtoplizc в сообщении #1154343 писал(а):

Где ошибка?

Из того, что порядок составной, вы сделали неверный вывод, что группа не циклическая. Из того, что если порядок простой, группа циклическая, следует не это, а то, что если группа не циклическая, её порядок составной — в обратную сторону, а не как у вас.

[user14284]

shtoplizc в сообщении #1154343 писал(а):

4- число составное, делаю вывод, что данная группа не цикличная.

Циклические группы бывают любого порядка (даже 4). Действительно, вы можете нарисовать циферблат с любым количеством часов в сутках.

shtoplizc в сообщении #1154343 писал(а):

И еще, может кто-нибудь знает точную формулировку этой теоремы?

Вы её уже сформулировали, только там "если" в обе стороны.

[shtoplizc]

user14284, и для абстрактной группы, и для $Z_n$ теорема тоже верна?

[Sinoid]

shtoplizc в сообщении #1154358 писал(а):

user14284, и для абстрактной группы, и для $Z_n$ теорема тоже верна

Я вам по секрету скажу что группа $\mathbb{Z}_n$ нисколько не менее абстрактная группа, чем другая.

[user14284]

shtoplizc
Если у вас "абстрактная группа" циклическая порядка $n$, то она с точки зрения теории групп ничем не отличается от $\mathbb Z_n$.

[shtoplizc]

Ещё вот вопрос. Если надо описать класс смежности gH={gh:h$\in{H}$}, то для аддитивной группы элементы gH образовываются как суммы или произведения?

[Brukvalub]

shtoplizc в сообщении #1154459 писал(а):

Ещё вот вопрос.

если операция в группе записывается аддитивно, то какой смысл можно придать записи "произведения элементов"?

[Lia]

shtoplizc
Формулы пишите нормально, пожалуйста, чтобы по Карантинам не ездить.

[Sinoid]

Brukvalub в сообщении #1154460 писал(а):

если операция в группе записывается аддитивно, то какой смысл можно придать записи "произведения элементов"?

Судя по записи, наоборот, мультипликативна, так что сумма...

[Brukvalub]

Sinoid, сначала полезно прочесть вопрос, на который я отвечал:

shtoplizc в сообщении #1154459 писал(а):

для аддитивной группы элементы gH образовываются как суммы или произведения?

[shtoplizc]

Brukvalub в сообщении #1154460 писал(а):

shtoplizc в сообщении #1154459 писал(а):

Ещё вот вопрос.

если операция в группе записывается аддитивно, то какой смысл можно придать записи "произведения элементов"?

Авторы учебника,который читаю, ввели понятие смежности без особых пояснений для особо одарённых.
Препода у меня нет, самому разобраться как-то слабо...
Так чё там, значит в аддитивной группе элемент класса смежности есть g+h? Не?

[Sinoid]

shtoplizc в сообщении #1154469 писал(а):

Авторы учебника,который читаю, ввели понятие смежности без особых пояснений для особо одарённых.

А до понятия смежности, как правило, в самом начале, какая операция оговаривается как почти всегда используемая?

[user14284]

shtoplizc в сообщении #1154469 писал(а):

Авторы учебника,который читаю, ввели понятие смежности без особых пояснений для особо одарённых.

Авторы учебника наверняка сначала дали определение группы, в котором есть всего одна операция. Поэтому когда вы видете $gh$, то особых альтернатив в понимании этого нет.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.