Деление произвольно заданного угла на 3 равные части.
( Трисекция угла )
Е. И. Терёшкин. Россия. г. Пенза
Чертим две пары пересекающихся прямых, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были острыми (чертеж 1) и тупыми (чертеж 2) .
В местах пересечения ставим точки O.
http://s018.radikal.ru/i515/1609/f2/d5c4e0ae2496.jpg Чертеж 2
Проводим общие биссектрисы обоих вертикальных острых углов (чертеж 1) и обоих вертикальных тупых углов (чертеж 2).Из точек O любыми радиусами описываем окружности.В местах пересечения сторон нижнего острого угла (чертеж 1) и тупого угла(чертеж 2) с дугами окружностей ставим точки M и N. Далее из точек N параллельно биссектрисам проводим линии вверх до пересечения с продолжениями линий MO и дугами окружностей и ставим точки K.На прямых NK вправо строим равносторонний треугольник KDN.Соединяем точки O и D.Проводим биссектрисы углов KDO до пересечения с прямыми OK и ставим точки L.Из точек L радиусами ML проводим окружности.В местах пересечения окружностей радиуса ML с биссектрисами острых и тупых углов ставим точки B и S.Из точек B параллельно KM проводим прямые до пересечения с продолжениями прямых NO и ставим точки A.Из точек B параллельно AO проводим прямые до пересечения с продолжениями прямых MK и ставим точки C. -это и есть углы,которые мы будем делить на три равные части.Проведем прямые MB.Из точек M и B проведем диаметры и поставим точки Q и P и соединим их.Так как треугольник BLM равнобедренный,то .Также -внутренние накрестлежащие при параллельных прямых AB и MQ и секущей MB.Четырехугольники OABC-ромбы,так как треугольник OAB равен треугольнику BCO,так же эти треугольники равнобедренные.Из точек L проведем радиусы параллельно OA поставим точки H. -вертикальные.Хорды MB и PQ параллельны,так как они стягивают равные дуги.Из точки M до пересечения с большой окружностью проведем биссектрису угла BMQ.В месте пересечения поставим точку R.Угол BLQ-центральный,угол BMQ-вписанный,следовательно биссектриса MR делит дугу BQ пополам.
Проведем общую биссектрису вертикальных углов BLQ и MLP.Она будет начинаться в точке R,а заканчиваться предположительно в точке S.SR параллельна MB и параллельна PQ,так как SR делит пополам дуги BQ и MP.
,так как хорда MB параллельна диаметру SR и дуга BR=дуге MS.Рассмотрим треугольники MRL и SBL.В этих треугольниках ML=SL=LR=LB –радиусы одной окружности, = ,из доказанного известно,что .Следовательно треугольник MRL = треугольнику SBL.Если мы повернем треугольник MRL в точке L против часовой стрелки на ,то LR совпадет с LB,MR совпадет с SB,а ML повернется на величину ,который в свою очередь равен и прямая ML станет прямой SL.Значит биссектриса вертикальных углов BLQ и MLP точно проходит через точку S.
- равные вписанные углы при равных центральных углах BLR и MLS.Из доказанного ранее известно,что .Так как - половина ,то будет половиной ,а BS –биссектриса .Из этого следует,что .Но хорда BS является биссектрисой не только ,но и ,значит .Из доказанного ранее известно,что ,следовательно
Теперь из точки O проведем прямую параллельную LB до пересечения с прямой MB и поставим точку E,затем из точки O проведем прямую параллельную MB до пересечения с прямой LB и поставим точку F. Наши углы ABC и AOC разделены на три равные части.
А на практике для деления на три равные части достаточно найти точку B,построить треугольник MBL и провести прямые OE и OF.
Данная статья больше месяца находится на форуме "Техносообщество России".Более 1000 просмотров.Имеются положительные отзывы.
22.09.2016, 21:17 
ом