ТВ: как составить и решить интеграл???

[Alenka_kiss]

Я опять падаю к вашим ногам! Формулы под эту задачу я нашла в разделе по ТВ «Плотность распределения одномерной случайно величины». И знаю, что из условия надо составить интеграл. Но делать этого не умею (я – журналист). Искала в интернете какие-нибудь лекции на этот счет, но они у меня не открываются почему-то – какие-то кляксы вместо текста и формул. Где можно взять эл. eчебник на соответствующую тему?
Задача.
Дана плотность распределения вероятностей случайной величины Х.
f(x)= a(1-|x|), если |x|<=1,
0, если |x|>1
Найти константу a, функцию распределения F(x), в ответ ввести значения F (-1/2), F(1/2), M[X], D[X], P(-1/2<=X<=1/2).

[Kelegorm]

Я могу решить эту задачу, но совершенно не знаю TEXа.

[Alenka_kiss]

А что такое ТЕХ? Может я знаю?

[Someone]

Kelegorm писал(а):

Я могу решить эту задачу, но совершенно не знаю TEXа.

Тут же есть краткое руководство. Почитайте, посмотрите примеры и пишите. Посмотрите, как закодированы нужные Вам формулы в других сообщениях. Разберётесь.

[Alenka_kiss]

Kelegorm, если этот ТЕХ такой не понятный, может вышлите мне решение на мыло [e-mail] Буду очень-очень Вам признательна!

[Kelegorm]

Плотность распределения f(x) обладает свойством: интеграл от нее равен 1. Из этого условия находят параметр а. В данном случае f(x) отлична от нуля только на отрезке -1<= x <=1 . Берем интеграл по этому отрезку от заданной функции f(x) и получаем ответ а. Итак, а=1.
Функция распределения F(x) равна интегралу от минус бесконечности до x от той же функции f(x) = 1-|x| = {1+x,если -1<=x<=0; 1-x, если 0<=x<=1; 0, если |x|>1}. Поэтому
F(x)= {0, если x<-1; x+0.5x^2+0.5,если -1<=x<=0; 0.5+x - 0.5x^2, если 0<=x<=1; 1,если |x|>1}. Тогда F(-1/2)= -1/2 + 0.5(-1/2)^2 + 0.5 = 1/8;
F(1/2) = 0.5+1/2-0.5(1/2)^2 = 7/8.
Вероятность попадания в интервал p(-1/2<=x<=1/2) = F(1/2) - F(-1/2) = 7/8 - 1/8 = 6/8 = 3/4.
Математическое ожидание равно интегралу от минус бесконечности до плюс бесконечности от функции xf(x). В данном случае M[x]=0, так как функция f(x) четная. Дисперсия равна интегралу от минус бесконечности до плюс бесконечности от функции x^2*f(x), от которого надо отнять квадрат математического ожидания. Но этот квадрат равен нулю, так что остается только интеграл. Не могу написать промежуточных формул, поэтому скажу сразу ответ: D[x]=1/6.

[Alenka_kiss]

Огромное-преогромное спасибо!

[Alenka_kiss]

Маленький вопросик.
Почему, когда берем интеграл по этому отрезку от заданной функции f(x), то получаем ответ а? Лично мне все равно, но преподавателю надо как-то это объяснить.

[Capella]

Потому что а это константа и её можно вынести за интеграл (Вы понимаете, что это означает?). Далее Вы находите, что а = 1
Вот общий случай: $ 1 = $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$$ $

[Alenka_kiss]

Я немного стала понимать в этих интералах. Вот тольку куда девать модуль? Понимаете, последний раз решать интегралы мне приходилось лет 12 назад. А за годы работы в журналистике выветрилось все напрочь. Вы бы, если Вас не затруднит, расписали бы мне решение, а то я так и буду мучаться.

ψυ& писал(а):

Потому что а это константа и её можно вынести за интеграл (Вы понимаете, что это означает?). Далее Вы находите, что а = 1
Вот общий случай: $ 1 = $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$$ $

[Capella]

а с модулем можно так поступить. Так, пример:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx $$

=

$$ 2 \int\limits_{0}^{\infty} f(x)dx $$

. Только там надо быть осторожным, поскольку если функция нечётна, то и интергал будет равняться 0.

[cepesh]

ψυ& писал(а):

а с модулем можно так поступить. Так, пример:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx $$

=

$$ 2 \int\limits_{0}^{\infty} f(x)dx $$

.

Это почему можно так с модулем поступить?

[Capella]

Да потому что ты должен рассмотреть икс по неотрицательной области, а поскольку у тебя там интервал вдвое меньше, ты должен домножить на 2. По моему это вообще общий случай.

[cepesh]

ψυ& писал(а):

Да потому что ты должен рассмотреть икс по неотрицательной области, а поскольку у тебя там интервал вдвое меньше, ты должен домножить на 2

я про то как ты лихо модуль сняла. Какие-то условия на f наложены?

[Capella]

Условия читай выше, насколько я понимаю, функция чётная, так-что могу это сделать. Вообще, при нормальном распределении, если мат ожидание равно нулю и функция строго симметрична относительно x = 0, я могу так сделать