2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:08 


14/07/16
47
Здравствуйте, пытаюсь разобраться, в книге написано: Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если в этой точке имеет место быть следующее соотношение:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0}\left( f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \right) = 0$
Можем ли мы сделать так что бы доказать что функция непрерывна во всей области определения ?
$f(x)=cosec(x)$
$y+\Delta y = cosec(x+\Delta x)$
$\Delta y = cosec(x+\Delta x)-cosec(x)$

$$\lim_{\Delta x \to 0} cosec(x+\Delta x)-cosec(x)=cosec(x+0)-cosec(x)=0$
где значения $x$ принадлежат области определения функции $f(x)=cosec(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:15 
Аватара пользователя


11/06/12
9156
шкала.вихрь.интерес
Нет, не можем. Написанное вами вообще ни малейшего смысла не имеет. А косеканс пишите так: $\cosec$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:19 
Заслуженный участник


23/07/08
7967
Харьков
Нет, так нельзя. Вас должно было смутить, что применяемая магия:
NEvOl в сообщении #1140673 писал(а):
$\lim_{\Delta x \to 0} cosec(x+\Delta x)-cosec(x)=cosec(x+0)-cosec(x)=0$
позволяет сделать вывод о непрерывности функции, ничего о ней не зная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:34 


14/07/16
47
svv в сообщении #1140676 писал(а):
Вас должно было смутить

Так оно и было, по-этому я решил спросить у знающих людей, ибо обосновать сам не могу почему так делать нельзя(
В книге $$\Delta y$ преобразовывается до вида:
$$\Delta y = \frac{2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(-\frac{\Delta x}{2})}{\sin(x+\Delta x)\sin(x)}$$
В итоге
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(-\frac{\Delta x}{2})}{\sin(x+\Delta x)\sin(x)} =\frac{2\cos(x)}{(\sin(x))^2}0=0 $$
Но не совсем понимаю для чего это сделано, подскажите пожалуйста. Разница в том что тут предел стремиться к бесконечно малой величине а в предыдущем примере он равен 0 ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:44 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Разница в том, что вы по какой-то причине заменяете $\Delta x$ на его предельное значение $0$ никак это не обосновывая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:46 
Аватара пользователя


11/06/12
9156
шкала.вихрь.интерес
NEvOl, а вот давайте вы сейчас возьмёте учебник матана и заново выучите понятия предела и бесконечно малой величины. Вы же постыдно плаваете в самых что ни на есть основах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
2237
NEvOl в сообщении #1140678 писал(а):
Но не совсем понимаю для чего это сделано, подскажите пожалуйста.

Для того, чтобы воспользоваться непрерывностью синуса и косинуса, которая наверняка была доказана ранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 22:01 
Аватара пользователя


11/06/12
9156
шкала.вихрь.интерес
Господа, зачем вы помогаете этому неучу? Ну что это за слова такие?
NEvOl в сообщении #1140678 писал(а):
предел стремиться к бесконечно малой величине а в предыдущем примере он равен 0 ?
Вас это не настораживает? Безграмотность на безграмотности едет и безграмотностью погоняет, тьфу! Да любой университетский препод, узрев такое, снял бы очки, достал носовой платок и погнал бы им этого нерадивого тунеядца прочь. А вы пресловутым носовым платком ему сопли вытираете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3256
NEvOl в сообщении #1140673 писал(а):
$$\lim_{\Delta x \to 0} cosec(x+\Delta x)-cosec(x)=cosec(x+0)-cosec(x)=0$$

Вот здесь ошибка. Всё дело в том, что вот так вот "подставить" $\Delta x=0$ внутрь предела:
$$
\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\rm{cosec}}(x+\Delta x)={\rm{cosec}}(x+0)={\rm{cosec}}x
$$
- можно, но только если непрерывность функции ${\rm{cosec}}$ уже известна. Вам же она неизвестна, Вам эту непрерывность надо доказать.
Вообще, подобные "подстановки" типа $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ часто приходится делать, но делать их можно только тогда, когда про функцию $f$ уже точно известно, что она непрерывна.

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1140684 писал(а):
Господа, зачем вы помогаете этому неучу? Безграмотность на безграмотности едет и безграмотностью погоняет, тьфу!

Да, едет и погоняет. Но мне вот по долгу службы приходится иметь дело и с гораздо более тяжёлыми случаями. Не так давно выясняли со студенткой-математиком 4 курса (практически выпускницей), чему равен предел $1/x$ при $x\to 0$. Попутно выяснилось, что она совсем не представляет, какие точки ближе к нулю, а какие дальше на числовой прямой, и не способна разделить $1$ на $0.1$ или на $0.01$ без калькулятора. И это не единичный случай. Тем не менее, в любом, даже самом тяжёлом случае есть возможность студенту хоть что-то прояснить, и он станет понимать то, чего не понимал ранее. Я для себя решил, что если есть хотя бы мизерный педагогический результат, то я не зря тратил свою энергию на разъяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7555

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1140692 писал(а):
Тем не менее, в любом, даже самом тяжёлом случае есть возможность студенту хоть что-то прояснить, и он станет понимать то, чего не понимал ранее.

В подавляющем большинстве случаев, - чтобы через пять минут об этом благополучно забыть. :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 00:31 
Аватара пользователя


11/06/12
9156
шкала.вихрь.интерес

(Оффтоп)

Ну и кто был прав? Пришёл университетский препод и всех разогнал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 11:43 


14/07/16
47
Mikhail_K в сообщении #1140692 писал(а):
Вообще, подобные "подстановки" типа $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ часто приходится делать, но делать их можно только тогда, когда про функцию $f$ уже точно известно, что она непрерывна.

т.е. я правильно понял что, что бы доказать что функция непрерывна в точке $x_0$ нужно показать следующее: $$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y=0$$ но при этом преобразовав $\Delta y$ до функций непрерывность которых уже доказана и затем находить предел ?
Еще одно уточнение, я так понимаю что $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) (1)$$ только тогда, когда $f$ непрерывна в точке $x_0$, но я "натыкался" на упоминания о том что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ когда $x_0$ принадлежит области допустимых значений функции $f$, но т.к. функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ следовательно $x_0$ точно принадлежит области допустимых значений и ограничение $(1)$ строже, следовательно нужно придерживать его $(1)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
7555
NEvOl в сообщении #1140765 писал(а):
т.е. я правильно понял что, что бы доказать что функция непрерывна в точке $x_0$ нужно показать следующее: $$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y=0$$ но при этом преобразовав $\Delta y$ до функций непрерывность которых уже доказана и затем находить предел ?

Например, так, да.
NEvOl в сообщении #1140765 писал(а):
я "натыкался" на упоминания о том что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ когда $x_0$ принадлежит области допустимых значений функции $f$, но т.к. функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ следовательно $x_0$ точно принадлежит области допустимых значений и ограничение $(1)$ строже, следовательно нужно придерживать его $(1)$ ?

Набор слов. Процитируйте, пожалуйста, дословно, на что Вы натыкались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 12:11 
Аватара пользователя


11/06/12
9156
шкала.вихрь.интерес
И где именно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 13:51 


14/07/16
47
Формулировка примерно следующая: $f(x)$ - элементарная функция, точка $a$ лежит в области определения этой функции, тогда $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: pandemodeus


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group