2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:08 


14/07/16
57
Здравствуйте, пытаюсь разобраться, в книге написано: Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если в этой точке имеет место быть следующее соотношение:
$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0}\left( f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \right) = 0$
Можем ли мы сделать так что бы доказать что функция непрерывна во всей области определения ?
$f(x)=cosec(x)$
$y+\Delta y = cosec(x+\Delta x)$
$\Delta y = cosec(x+\Delta x)-cosec(x)$

$$\lim_{\Delta x \to 0} cosec(x+\Delta x)-cosec(x)=cosec(x+0)-cosec(x)=0$
где значения $x$ принадлежат области определения функции $f(x)=cosec(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:15 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Нет, не можем. Написанное вами вообще ни малейшего смысла не имеет. А косеканс пишите так: $\cosec$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:19 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Нет, так нельзя. Вас должно было смутить, что применяемая магия:
NEvOl в сообщении #1140673 писал(а):
$\lim_{\Delta x \to 0} cosec(x+\Delta x)-cosec(x)=cosec(x+0)-cosec(x)=0$
позволяет сделать вывод о непрерывности функции, ничего о ней не зная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:34 


14/07/16
57
svv в сообщении #1140676 писал(а):
Вас должно было смутить

Так оно и было, по-этому я решил спросить у знающих людей, ибо обосновать сам не могу почему так делать нельзя(
В книге $$\Delta y$ преобразовывается до вида:
$$\Delta y = \frac{2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(-\frac{\Delta x}{2})}{\sin(x+\Delta x)\sin(x)}$$
В итоге
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(-\frac{\Delta x}{2})}{\sin(x+\Delta x)\sin(x)} =\frac{2\cos(x)}{(\sin(x))^2}0=0 $$
Но не совсем понимаю для чего это сделано, подскажите пожалуйста. Разница в том что тут предел стремиться к бесконечно малой величине а в предыдущем примере он равен 0 ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:44 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Разница в том, что вы по какой-то причине заменяете $\Delta x$ на его предельное значение $0$ никак это не обосновывая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:46 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
NEvOl, а вот давайте вы сейчас возьмёте учебник матана и заново выучите понятия предела и бесконечно малой величины. Вы же постыдно плаваете в самых что ни на есть основах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
NEvOl в сообщении #1140678 писал(а):
Но не совсем понимаю для чего это сделано, подскажите пожалуйста.

Для того, чтобы воспользоваться непрерывностью синуса и косинуса, которая наверняка была доказана ранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 22:01 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Господа, зачем вы помогаете этому неучу? Ну что это за слова такие?
NEvOl в сообщении #1140678 писал(а):
предел стремиться к бесконечно малой величине а в предыдущем примере он равен 0 ?
Вас это не настораживает? Безграмотность на безграмотности едет и безграмотностью погоняет, тьфу! Да любой университетский препод, узрев такое, снял бы очки, достал носовой платок и погнал бы им этого нерадивого тунеядца прочь. А вы пресловутым носовым платком ему сопли вытираете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4604
NEvOl в сообщении #1140673 писал(а):
$$\lim_{\Delta x \to 0} cosec(x+\Delta x)-cosec(x)=cosec(x+0)-cosec(x)=0$$

Вот здесь ошибка. Всё дело в том, что вот так вот "подставить" $\Delta x=0$ внутрь предела:
$$
\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\rm{cosec}}(x+\Delta x)={\rm{cosec}}(x+0)={\rm{cosec}}x
$$
- можно, но только если непрерывность функции ${\rm{cosec}}$ уже известна. Вам же она неизвестна, Вам эту непрерывность надо доказать.
Вообще, подобные "подстановки" типа $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ часто приходится делать, но делать их можно только тогда, когда про функцию $f$ уже точно известно, что она непрерывна.

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1140684 писал(а):
Господа, зачем вы помогаете этому неучу? Безграмотность на безграмотности едет и безграмотностью погоняет, тьфу!

Да, едет и погоняет. Но мне вот по долгу службы приходится иметь дело и с гораздо более тяжёлыми случаями. Не так давно выясняли со студенткой-математиком 4 курса (практически выпускницей), чему равен предел $1/x$ при $x\to 0$. Попутно выяснилось, что она совсем не представляет, какие точки ближе к нулю, а какие дальше на числовой прямой, и не способна разделить $1$ на $0.1$ или на $0.01$ без калькулятора. И это не единичный случай. Тем не менее, в любом, даже самом тяжёлом случае есть возможность студенту хоть что-то прояснить, и он станет понимать то, чего не понимал ранее. Я для себя решил, что если есть хотя бы мизерный педагогический результат, то я не зря тратил свою энергию на разъяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение28.07.2016, 22:58 
Заслуженный участник


09/05/13
8904

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1140692 писал(а):
Тем не менее, в любом, даже самом тяжёлом случае есть возможность студенту хоть что-то прояснить, и он станет понимать то, чего не понимал ранее.

В подавляющем большинстве случаев, - чтобы через пять минут об этом благополучно забыть. :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 00:31 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Оффтоп)

Ну и кто был прав? Пришёл университетский препод и всех разогнал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 11:43 


14/07/16
57
Mikhail_K в сообщении #1140692 писал(а):
Вообще, подобные "подстановки" типа $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ часто приходится делать, но делать их можно только тогда, когда про функцию $f$ уже точно известно, что она непрерывна.

т.е. я правильно понял что, что бы доказать что функция непрерывна в точке $x_0$ нужно показать следующее: $$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y=0$$ но при этом преобразовав $\Delta y$ до функций непрерывность которых уже доказана и затем находить предел ?
Еще одно уточнение, я так понимаю что $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) (1)$$ только тогда, когда $f$ непрерывна в точке $x_0$, но я "натыкался" на упоминания о том что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ когда $x_0$ принадлежит области допустимых значений функции $f$, но т.к. функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ следовательно $x_0$ точно принадлежит области допустимых значений и ограничение $(1)$ строже, следовательно нужно придерживать его $(1)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 11:55 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
NEvOl в сообщении #1140765 писал(а):
т.е. я правильно понял что, что бы доказать что функция непрерывна в точке $x_0$ нужно показать следующее: $$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y=0$$ но при этом преобразовав $\Delta y$ до функций непрерывность которых уже доказана и затем находить предел ?

Например, так, да.
NEvOl в сообщении #1140765 писал(а):
я "натыкался" на упоминания о том что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ когда $x_0$ принадлежит области допустимых значений функции $f$, но т.к. функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ следовательно $x_0$ точно принадлежит области допустимых значений и ограничение $(1)$ строже, следовательно нужно придерживать его $(1)$ ?

Набор слов. Процитируйте, пожалуйста, дословно, на что Вы натыкались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 12:11 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
И где именно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство непрерывности функции
Сообщение29.07.2016, 13:51 


14/07/16
57
Формулировка примерно следующая: $f(x)$ - элементарная функция, точка $a$ лежит в области определения этой функции, тогда $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group