Доказательство непрерывности функции

[Mikhail_K]

Это верно. Потому что есть такой факт: любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Ясно, что в задаче из первого поста этой темы данный факт "не предполагается известным". Иначе бы задачу решить было слишком просто: сослаться на то, что ${\rm{cosec}}$ - элементарная функция.

Можно ещё одним способом (тоже очень коротким) доказать непрерывность косеканса: заметить, что это композиция двух непрерывных функций $g(x)=1/x$ и $h(x)=\sin x$. Если, конечно, Вы уже прошли доказательства непрерывности этих двух функций и теорему о непрерывности композиции.

Но доказывать непрерывность функции по определению этой самой непрерывности тоже надо уметь, хотя это и сложнее.

[svv]

Или (Фихтенгольц):

Цитата:

Если две функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в одном и том же промежутке $\mathcal X$ и обе непрерывны в точке $x_0$, то в той же точке будут непрерывны и функции

$$f(x)\pm g(x),\;f(x)\cdot g(x),\;{\color{blue}\frac{f(x)}{g(x)}}\,,$$

последняя при условии, что $g(x_0)\neq 0$.