Куда применить полученные значения спектральной плотности?

[beginer]

Доброго времени суток!
Я пишу программный комплекс для решения задачи нахождения спектральной плотности с помощью быстрого преобразования Фурье.

Но сюда зашёл за уточнением и советами.

Материалы есть,формулы есть но меня интересует другое

Есть формула(она ниже)



j-мнимая единица,t- это время

У них есть свои константые значения или их надо как-то находить,а потом уже использовать в формуле?

В своей программе я изначально по условию ввожу Т и U,а величины f w уже получаю с помощью формул,а вот с j и t как поступить?

С точки зрения программирования я понял что нужна работа с комплексными числами.Но для работы с комплексным числом нужно что-то ввести)

Хотелось бы узнать,может есть и формулы в физике,которые позволят мне на промежуточном этапе получить значения j и t?

[rustot]

Это вопросы не по физике а по математике. И формула эта просто преобразования фурье, а "быстрое преобразование фурье" это алгоритм дискретного вычисления всего массива выходных данных разом а не поштучно

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- задача не имеет прямого отношения к физике

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[beginer]

Задача(из раздела Радиоэлектроника)

Текст задачи

Определим спектральную плотность амплитуд прямоугольного импульса, изображенного на рисунке , если $\tau$ $= $1 мс, $U$ $=$ 10 В.



Находим спектральную плотность с помощью формулы прямого преобразования Фурье

$U(j\omega )=$$\int\limits_{0}^{\tau}$$Ue^{-j\omega t}dt

Спектральная плотность амплитуд – это модуль комплексной спектральной плотности, поэтому

$U(\omega)$=U\tau\left\lvert\frac{\sin\frac{\omega\tau}{2}}{\frac{\omega\tau}{2}}\right\rvert

Построим график $U(f)$. Для этого, прежде всего, рассчитаем значение спектральной плотности амплитуд на нулевой частоте, которое равно площади прямоугольного импульса:$U(0)=U\tau$=10 1=10



Частоты $f$, на которых спектральная плотность обращается в нуль, можно найти из соотношения

$\frac{2\pi f \tau}{2}=k\pi$

Эти частоты равны $\frac{k}{\tau$}$, т.е. $1$ кГц, $2$ кГц, $3$ кГц и т.д. На частотах $1,5$ кГц и $2,5$ кГц лепестки функции $U(f)$ принимают максимальные значения, равные соответственно $2$ мВс и $1,3$ мВс. График спектральной плотности амплитуд приведен на рисунке выше.

Что было сделано:
1)Выражено соотношение

$\frac{2\pi f \tau}{2}=k\pi$

$f\tau=k$

$f=\frac{k}{\tau}$

2)Разбиение формулой Эйлера выражение $U(j\omega )=$$\int\limits_{0}^{\tau}$$Ue^{-j\omega t}dt=\int\limits_{0}^{\tau}U(t)\cos \omega t dt - i \int\limits_{0}^{\tau} \sin \omegat dt

где
$\omega=2 \pi f$, а само $f=\frac{1}{\tau}$

3)Задача самостоятельная,её надо запрограммировать,поэтому расчётов как таковых у меня нету,я весь этот алгоритм реализовываю программно в коде.

4)Спектральная плотность это модуль комплексной спектральной плотности.

5)Я прекрасно ознакомлен с правилами форума,и вы зря думаете что я тут ищу халяву или готовое решение(обращение к модератору,который приписал меня к халявщикам)

А теперь вопросы:

1)Я получаю с помощью преобразования Фурье значение плотности,получается что Спектральную плотность амплитуд я должен выразить из формулы

$U(\omega)$=U\tau\left\lvert\frac{\sin\frac{\omega\tau}{2}}{\frac{\omega\tau}{2}}\right\rvert

И данное значение будет одной из координат моего графика

2)Вопрос по поводу соотношения f(коэффициент k,это просто аргумент или у него есть константное значение)
Значение f из соотношения и f,которое $f=\frac{1}{\tau}$ для преобразования Фурье,они разные?

[profrotter]

Спектральная плотность - это функция, вообще говоря, комплексная. Скорее всего от вас требуется построить график амплитудного спектра. Строить такой график следует так же как график любой другой функции. По оси абсцисс откладываются значения частоты, по оси ординат - значения амплитудного спектра.

О каких двух значениях вы там пишете - непонятно. Если вы нашли спектральную плотность, то нашли функцию, а не какие-то там два значения.

[Munin]

beginer в сообщении #1118077 писал(а):

Что было сделано мной:
Спектральную плотность я получил,(так как формулу я интегрирую по частям) и соответственно получаю 2 значения.

Покажите ваши вычисления.

У вас должно получиться не 2 значения, а одна комплексная функция. Потом разберёмся, что с ней делать.

[beginer]

Боюсь тут может будет отклонение от тематики форума.

Дело в том, что я решаю программно задачу,то есть запрограммировал формулы и получаю результат.
На форуме программистов мне указали ,что моя ошибка больше в самом понимании этой задачи радиотехники чем в программировании формул,собственно поэтому я и написал сюда.(Было сказано что синтаксис правильный,но понимания задачи нет,а в физике и радиотехнике знающих не оказалось)

Как известно формула преобразование Фурье

$U(jw)=$$\int\limits_{0}^{\tau}$$ Ue^{-jwt}dt

интегрируется по частям но через формулу Эйлера где убирается мнимая единица и следовательно каждый интеграл я рассчитываю отдельно и тем самым получаю 2 числа, действительную и мнимую часть комплексного числа.

Пусть никого не смущает x,y это написано пока это черновой вариант(real - это у нас аналогия с x,а y-аналогия с imaginary)

[Munin]

beginer в сообщении #1118135 писал(а):

Как известно формула преобразование Фурье

$U(jw)=\int\limits_{0}^{\tau} Ue^{-jwt}dt$

интегрируется по частям но через формулу Эйлера где убирается мнимая единица и следовательно каждый интеграл я рассчитываю отдельно и тем самым получаю 2 числа, действительную и мнимую часть комплексного числа.

Покажите конкретные формулы, по которым вы интегрируете по частям, убираете мнимую единицу, и рассчитываете отдельно каждый интеграл.

А скриншотов с цифрами показывать не надо. Это не то, как вы делаете расчёт, а только результат.

P. S. И формулы покажите в математическом виде, а не как вы их запрограммировали.

P. P. S. В начале формулы ставится один знак доллара. В конце формулы ставится один знак доллара. В середине формулы никаких знаков доллара не ставится.

[beginer]

Формула для определения real части $ U\int\limits_{0}^{\tau} \cos wt $

Формула для определения imaginary части $ U\int\limits_{0}^{\tau}\sin(-wt)$

[Munin]

Во-первых, формулы такими быть не могут. Под интегралом должен быть знак дифференциала.
Во-вторых, поясните, что в этих формулах задано, а что нет.

[beginer]

Я хотел с помощью формулы Эйлера изменить вот эту часть $e^{-jwt}$

Действовал в рамках основной формулы Эйлера ,я попытался разбить формулу преобразования Фурье на 2 части к $\sin$ и $\cos$ и пытался избавится от мнимой единицы $j$

И после каждую часть интегрировать численным методом.

[Munin]

Вы считаете, что так вам лучше помогут, если вы не будете отвечать на заданные вам вопросы, а будете говорить что-то своё?

[beginer]

Munin в сообщении #1118159 писал(а):

Во-первых, формулы такими быть не могут. Под интегралом должен быть знак дифференциала.
Во-вторых, поясните, что в этих формулах задано, а что нет.

В формулах задана $U= 10$-амплитуда ,интеграл от $0$ до $\tau=1$,$w$-частота.

[Munin]

Так вот. На самом деле, частота не задана. Частота - это аргумент функции. То есть, вы вычисляете не число $U,$ а функцию $U(j\omega)$ - о чём вам с самого начала сказал profrotter.

И кстати, пишется она не $w$ (латинской буквой "дубль-ве"), а $\omega$ (греческой буквой "омега").

Вот теперь задайте снова ваш вопрос.

[arseniiv]

beginer
Короче говоря, вы, чтобы найти $\hat f(\omega) = \int_0^\tau f(t)e^{-i\omega t}\,dt$, сделали её суммой $\int_0^\tau f(t)\cos\omega t\,dt-i\int_0^\tau f(t)\sin\omega t\,dt = \operatorname{Re}\hat f(\omega) + i\operatorname{Im}\hat f(\omega)$ и получили численно каждую функцию-слагаемое? Ну так и сложите их назад в одну комплекснозначную. Потом с ней всякое делать (или не делать) могут в зависимости от задачи: модуль брать, аргумент, квадрат модуля, чего-нибудь экзотическое.

Вот у вас:

beginer в сообщении #1118077 писал(а):

Определим спектральную плотность амплитуд прямоугольного импульса, изображенного на рис. 4.7, если $\tau$ $= $1 мс, $U$ $=$ 10 В.

«Определим» это разве обязательно график построим? Может, там формула нужна? Тогда численное интегрирование пролетает, кстати.