Счетность множеств (задачи из Давидовича)

[ewert]

grizzly в сообщении #1121811 писал(а):

мне было жаль, что я узнал об этой аксиоме уже после курса матана, в котором она используется на полную катушку.

Не узнали бы -- не много бы потеряли. Аксиома выбора и счётная аксиома выбора -- две очень большие разницы. Первая в обычном анализе используется чуть менее чем на 0% (да и в функциональном тоже довольно редко, хоть иногда и увесисто). Вторая же нормальными математиками (не теоретико-множественниками) воспринимается ровно так же, что и прочие асиомы, общие для разных моделей -- как интуитивно очевидные и, следовательно, им в явном виде не нужные.

[gefest_md]

irod в сообщении #1122069 писал(а):

(Здесь используем без доказательства тот факт, что число всевозможных последовательностей нулей и единиц длины $n$, рАвно как и число всевозможных русских "слов" длины $n$, конечно.)

По индукции $\forall n\in\mathbb{N}\left(S_n - \text{счётно}\right)$, $S_n$ - множество всех последовательностей длины $n.$ "Счётно" для того, чтобы использовать задачу 8 в этом доказательстве.

[arseniiv]

Зачем, когда есть задача 9 и конечные? Тоже по индукции, конечно, и попарное их непересечение по индукции. Но, кажется, у ТС она ещё пока не пройдена. Я задачи на неё видел, насколько правильно помню, в середине задачника.

[grizzly]

gefest_md в сообщении #1122137 писал(а):

По индукции $\forall n\in\mathbb{N}\left(S_n - \text{счётно}\right)$, $S_n$ - множество всех последовательностей длины $n.$ "Счётно" для того, чтобы использовать задачу 8 в этом доказательстве.

Множества $S_n$ в Ваших обозначениях конечные, а не счётные или какие-то "счётные". Если это вызывает трудности, создайте отдельную тему для обсуждения.

-- 08.05.2016, 23:49 --

arseniiv в сообщении #1122139 писал(а):

Но, кажется, у ТС она ещё пока не пройдена.

Как раз листок с мат.индукцией был раньше. ТС его обошёл стороной.

[gefest_md]

irod, имелось в виду $S_n$ - счетно-бесконечно или конечно. В задачнике другое определение счётного множества.

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1122141 писал(а):

Как раз листок с мат.индукцией был раньше.

Ой. Странно. Хорошо, что есть кому поправить. В любом случае, тут матиндукция, может быть, и не нужна, раз уж мы без аксиом.

[irod]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1122141 писал(а):

Как раз листок с мат.индукцией был раньше. ТС его обошёл стороной.

Да, с мат.индукцией я имел дело раньше, и некоторые задачи из того листка уже решал. Не хочу сейчас прорешивать тот листок полностью. Кстати, следующий листок - по комбинаторике - я тоже пропущу, т.к. с комбинаторикой у меня тоже нормально.

Все же по обсуждениям выше я не понял, проходит ли мое решение задачи 11, или надо его доработать?

arseniiv в сообщении #1122139 писал(а):

Зачем, когда есть задача 9 и конечные? Тоже по индукции, конечно, и попарное их непересечение по индукции. Но, кажется, у ТС она ещё пока не пройдена. Я задачи на неё видел, насколько правильно помню, в середине задачника.

Мне казалось очевидным, что множества последовательностей разной длины не пересекаются, поэтому я просто написал:

irod в сообщении #1122069 писал(а):

...представить как объединение счетного числа различных конечных множеств последовательностей нулей и единиц...

Или Вы что-то другое имели в виду?
В любом случае, мне кажется индукция здесь не нужна.

-- 09.05.2016, 11:54 --

Следующую задачу 12 пока не знаю как решать.

Давидович писал(а):

В задаче 12 появляются множества из школьного курса геометрии; тем самым, здесь предполагается знание аксиом геометрии и знакомство с геометрическими конструкциями

Со школьной геометрией я последний раз имел дело в школе, больше 10 лет назад. Естественно никаких аксиом не помню. Где это все можно посмотреть? Я открыл Погорелова, но не могу найти четкого определения отрезка на плоскости.

(Оффтоп)

Вообще как (по какой литературе) можно быстро повторить элементарную геометрию? Судя по обсуждениям на этой форуме, я понял что много времени на нее тратить не надо, поэтому задачи по школьной геометрии я решать не планирую, мне надо просто повторить основные факты, определения, аксиомы. Я правда не уверен, что это наилучшая стратегия.

[grizzly]

irod в сообщении #1122194 писал(а):

Все же по обсуждениям выше я не понял, проходит ли мое решение задачи 11, или надо его доработать?

Да, здесь проходят.

irod в сообщении #1122194 писал(а):

Или Вы что-то другое имели в виду?

То замечание было не к Вам.

irod в сообщении #1122194 писал(а):

Со школьной геометрией я последний раз имел дело в школе, больше 10 лет назад. Естественно никаких аксиом не помню. Где это все можно посмотреть? Я открыл Погорелова, но не могу найти четкого определения отрезка на плоскости.

Я предлагаю взять за данность, что фигуры остаются равными (конгруэнтными) при сдвиге, вращении или зеркальном отображении. И что равномощность равных фигур обеспечивается тождественным преобразованием. Всё остальное будет интуитивно очевидным, я думаю. Попробуйте самостоятельно придумать, как доказывать равномощность. Я не знаю, насколько просто додуматься в первый раз. Если за час-полтора не получится, спросите подсказку.

[irod]

12. Доказать, что равномощны:
а) любые два отрезка на плоскости;
б) любые два интервала на плоскости;
в) любые две окружности на плоскости;
г) интервал и полуокружность без концов;
д) интервал и прямая.

Доказательство.

grizzly в сообщении #1122204 писал(а):

Я предлагаю взять за данность, что фигуры остаются равными (конгруэнтными) при сдвиге, вращении или зеркальном отображении. И что равномощность равных фигур обеспечивается тождественным преобразованием.

а) Возьмем два произвольных отрезка на плоскости и расположим их на одной прямой, совместив их начальные точки друг с другом (с помощью комбинаций операций сдвига, вращения и зеркального отображения). Обозначим эти совмещенные отрезки $OA$ и $OB$:

Пусть точка $O$ -- начало координатной оси, т.е. точка $O$ имеет нулевую координату. Тогда биекцией между отрезками $OA$ и $OB$ будет отображение, сопоставляющее произвольной точке отрезка $OA$ с координатой $x_0$ точку $x_0 \frac{|OB|}{|OA|}$ отрезка $OB$, и обратное к нему отображение, сопоставляющее произвольной точке отрезка $OB$ с координатой $x_1$ точку $x_1 \frac{|OA|}{|OB|}$ отрезка $OA$.

Так?

[grizzly]

irod в сообщении #1122247 писал(а):

Так?

Да, можно так. Есть другие способы и я думаю, что некоторые из них Вам придётся отыскать в следующих задачах. Но идею Вы уловили правильно, так что подсказки Вам пока не нужны.

[ewert]

irod в сообщении #1122247 писал(а):

Так?

Так, но ведь отрезки, наверное, не случайно даны именно на плоскости. Явно предполагалось чисто геометрическое решение. Расположите эти отрезки параллельно друг другу и помедитируйте над ними.

[grizzly]

del.

[arseniiv]

irod в сообщении #1122194 писал(а):

Или Вы что-то другое имели в виду?

Я отвечал gefest_md, как лучше «доформализовать» ваше доказательство, если это делать. Индукция здесь нужна, только если не считать непересечение множеств последовательностей разной длины и конечность всех их очевидными, и против вашего решения так делать лично я не возражаю.

[irod]

ewert в сообщении #1122259 писал(а):

irod в сообщении #1122247 писал(а):

Так?

Так, но ведь отрезки, наверное, не случайно даны именно на плоскости. Явно предполагалось чисто геометрическое решение. Расположите эти отрезки параллельно друг другу и помедитируйте над ними.

Нарисовал отрезки параллельно один над другим. Что-то на ум ничего не приходит.
Вообще у меня большие проблемы с геометрией, я ее совсем не знаю. Сейчас вот параллельно разбираюсь потихоньку с аналитической геометрией, узнаЮ много нового Что Вы имели в виду под "чисто геометрическим решением"?

(Оффтоп)

У меня сейчас серьезные изменения в жизни, я сильно занят, и в ближайшем будущем, наверное, не смогу уделять математике и общению на этом форуме столько же времени как раньше. Это не значит что я вдруг резко потерял интерес, вовсе нет, у меня просто физически не хватает на все времени. Я по-прежнему здесь, я никуда не ухожу, просто отвечать и выкладывать свои решения буду реже чем раньше. Считаю своим долгом предупредить об этом форумчан, которые мне тут много помогают (grizzly и остальные). Очень надеюсь, что скоро я решу появившиеся проблемы и смогу уделять математике больше времени.

-- 13.05.2016, 11:40 --

irod в сообщении #1122247 писал(а):

12. Доказать, что равномощны:
б) любые два интервала на плоскости;

Доказательство совершенно аналогично пункту а).

[irod]

irod в сообщении #1122247 писал(а):

12. Доказать, что равномощны:
в) любые две окружности на плоскости;

Пусть на плоскости даны 2 окружности с центрами в начале координат и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Возьмем произвольную точку с координатами $(x_1,y_1)$ на первой окружности. Пусть $\alpha$ -- значение угла прямоугольного треугольника с вершинами $(0,0)$, $(x_1,y_1)$ и $(x_1,0)$ (см.рисунок). Построим отображение (биекцию), переводящее точку $(x_1,y_1)$ первой окружности в точку $(x_2,y_2)$ второй окружности, такое что угол прямоугольного треугольника с вершинами $(0,0)$, $(x_2,y_2)$ и $(x_2,0)$ будет равен $\alpha$.

Используя тригонометрию, находим:

$$ \cos \alpha = \frac{x_1}{R_1} = \frac{x_2}{R_2} \Rightarrow x_2 = x_1 \frac{R_2}{R_1} $$

$$ \sin \alpha = \frac{y_1}{R_1} = \frac{y_2}{R_2} \Rightarrow y_2 = y_1 \frac{R_2}{R_1}. $$

Таким образом, точка $(x_1,y_1)$ первой окружности переходит в точку $(x_1 \frac{R_2}{R_1},y_1 \frac{R_2}{R_1})$ второй окружности. Рассуждая аналогично, можно построить обратное отображение, переводящее произвольную точку $(x_2,y_2)$ второй окружности переходит в точку $(x_2 \frac{R_1}{R_2},y_2 \frac{R_1}{R_2})$ первой окружности.