9. Доказать, что объединение счетного числа различных конечных множеств счетно.
Доказательство.
Пусть

-- конечные множества,

-- мощность множества

, и пусть все элементы каждого

пронумерованы:

. Расположим все такие пронумерованные последовательности одна за другой, начиная с

, затем

и т.д., сохраняя при этом порядок элементов внутри каждой последовательности. Если какой-то элемент будет повторяться (при ненулевом пересечении некоторых

-х), то оставляем его в формируемой последовательности только первый раз, а каждый его повтор отбрасываем и ставим на его место следующий элемент, чтобы в последовательности не было пропусков.

Получим пронумерованную последовательность из элементов

:

в которой, возможно, будут отсутствовать некоторые (повторяющиеся) элементы.