Система дифуров

[Red_Herring]

sup в сообщении #1106508 писал(а):

Может лучше преобразование Лапласа?

По $t$ ? Можно. Но что в лоб, что по лбу: всё равно придётся решать для этих двух ОДУ пo $x$ краевую задачу и получится решение в виде интеграла (Лапласа)

[sup]

Ну да, придется. Я не смотрел, какой там полином получается и что там с его корнями. А вот в правой части экспонента.
Короче, есть шанс получить решение в виде неких интегралов.
А вот надо ли это и что "на самом деле" надо ... Это уже пусть ТС решает.

[DeBill]

Drimerg
Ну, посмотрел я задачу на собственные значения.

Drimerg в сообщении #1106498 писал(а):

Получается, что я могу взять так? ведь удовлетворяет граничным условиям

$\varphi (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \Phi _i (t) \cos (\pi ix/l)$
$w (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \W _i (t) \sin (\pi ix/l)$

Получается не так. Надо решения искать в виде

$\varphi (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \Phi _i (t) (\cos (\pi ix/l) +a_i \cos (\pi (i-1)x/l))$
$w (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \W _i (t) (\sin (\pi ix/l) + b_i \sin (\pi (i-1)x/l))$
Константы $a_i, b_i$ - подбирать так, чтобы выполнялось второе граничное условие....

[Singular]

Сразу, что пришло в голову, то можно ввести переменную $z=x-vt$, при которой
$\dfrac{\partial}{\partial{x}}=\dfrac{d}{dz},\quad\dfrac{\partial}{\partial{t}}=-v\dfrac{d}{dz}$,
$\dfrac{\partial^2}{\partial{x^2}}=\dfrac{d^2}{dz^2},\quad\dfrac{\partial^2}{\partial{t^2}}=v^2\dfrac{d^2}{dz^2}$
и система сведётся к виду
$v^2\dfrac{d^2w}{dz^2}=\dfrac{d^2w}{dz^2}-\dfrac{d\varphi}{dz}-w-\delta\left(z\right)$
$v^2\dfrac{d^2\varphi}{dz^2}=\dfrac{d^2\varphi}{dz^2}+\dfrac{dw}{dz}-\varphi$.
С начальными и граничными условиями не разбирался, наверное тоже что-то можно придумать.

[Red_Herring]

Singular в сообщении #1106814 писал(а):

С начальными и граничными условиями не разбирался, наверное тоже что-то можно придумать.

В том то и вся штука что граница у Вас начинает двигаться. В общем, совет вредный.

[Drimerg]

DeBill в сообщении #1106813 писал(а):

Надо решения искать в виде

$\varphi (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \Phi _i (t) (\cos (\pi ix/l) +a_i \cos (\pi (i-1)x/l))$
$w (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \W _i (t) (\sin (\pi ix/l) + b_i \sin (\pi (i-1)x/l))$
Константы $a_i, b_i$ - подбирать так, чтобы выполнялось второе граничное условие....

В таком случае получается, что
$a_i = - \cos(\pi x i/l)/ \cos(\pi (i-1)x/l)$
$b_i = - i \cos(\pi x i/l)/ (i+1) \cos(\pi (i-1)x/l)$
так? и для $b_i$ нельзя брать $i = 1$

[Red_Herring]

Уберите \ перед W в формулах

Ну и перед тем как писать ряды стоит выписать с.з. $\lambda_i$ и с.ф. $\begin{pmatrix}w_i(x)\\\varphi_i(x)\end{pmatrix}$ и проверить являются ли они ортогональными

[DeBill]

Drimerg
Ваши формулы для $a_i,b_i$ поначалу привели меня в ужас (это же КОНСТАНТЫ! Какая , нафик, зависимость от $x$???).
Однако, когда я сам попробовал пересчитать их правильно, я осознал все Ваши проблемы:

(Оффтоп)

А не далее как вчера, при проверке олимпиады - по математике! - , я увидел в работе преобразование
$(x^3 - 2x^2 -2)^3 = x^6 -2x^3 -8$. Так что теперь удивить меня чем-либо трудно

они, частично, проистекают из-за моей же легкомысленности: поленился явно решать здоровенную систему, подумав, что решения ее я и так угадал - откуда и пошли мои советы. За все в жизни надо платить; моей платой за лень были пара часов времени и три страницы выкладок. В результате, у меня есть для Вас новости: хорошие, не очень хорошие, и совсем плохие (а самое смешное, что ваши ужасные формулы не так уж и бессмысленны). Но, для начала: замените везде ваш индекс суммирования $i$ на другую букву - на $m$, например - а то он меня нервирует (и вызывает подозрения, что с такого рода задачами вы сроду дел не имели) - потому как буква $i$ -зарезервирована за комплексным числом $i, i^2 = -1$. А еще лучше - всю дробь $\frac{m\pi}{l}$ обозначим через $k$
1. Плохая новость: Решение в виде ряда в том виде, как я предлагал, проходит только в случае, когда $l$ кратно $2\pi$ .
2. Хорошая: но тогда можно просто взять $a_k =0, b_k = -1$
3. Странная: но можно взять и $a_k= k-1, b_k = 0$ (при $k=1$ это решение совпадает с первым)!
4. Хорошая: но и при $l$ не кратном $2\pi$, решение можно таки искать в том виде, что был предложен
5. Очень плохая: но только в этом случае $k$ не есть натуральные, а являются решениями уравнения $(2k-1)\cdot (e^{il} -1) = \pm (e^{2ikl}- e^{il})$. Это уравнение ужасно: оно не решабельно в явном виде, хотя решений и бесконечно много.
Ну что, достаточно сильно я Вас напугал? Если недостаточно, то можно двигаться дальше: вперед - решать таки систему дифуров; можно, для начала, проработать простой случай 1): потребуются: простейшие сведения об абстрактных рядах Фурье , или назад (вывод 5)): потребуются умения работать с обыкновенными системами дифуров и счета страшных определителей четвертого порядка.
Так что?

[Red_Herring]

DeBill в сообщении #1107083 писал(а):

не есть натуральные, а являются решениями уравнения

Покольку Вы решали: будут ли k вещественными или нет?

[DeBill]

Red_Herring
Будет - иногда: в формуле моей - пропущен множитель $e^{ikl}$:
Вместо

DeBill в сообщении #1107083 писал(а):

$(2k-1)\cdot (e^{il} -1) = \pm (e^{2ikl}- e^{il})$.

должно быть
$(2k-1)\cdot (e^{il} -1)\cdot e^{ikl} = \pm (e^{2ikl}- e^{il})$
Тогда это преобразуется в уравнение
$(2k-1)\cdot \sin (\frac{l}{2}) = \pm \sin (\frac{2k-1}{2}l)$
Забавная, вообще-то, формула: если переобозначить $a=\frac{l}{2}, s=2k-1$,
будет $\sin a=\frac{\sin(sa)}{s}$, с заданным $a$ и неизвестным $s$
По графику видно, что при $\sin a \ne 0$, решения есть, но их конечное число.
Странно довольно. Фишка в том, видимо, что оператор наш не самосопряженный.
Собственные значения его у меня получились равными $k-k^2-1$, собственные вектора $(X_k,Y_k) $ - комбинации экспонент $e^{\pm ikx}, e^{\pm i(k-1)x}$ (наверное, выражаются хорошо через синусы - поленился проверить)

-- 16.03.2016, 15:52 --

DeBill в сообщении #1107083 писал(а):

бесконечно много.

Ага, а тут я не прав - конечное их число, см. выше.

-- 16.03.2016, 16:39 --

Нет, не выражаются - какие-то ужасные выражения.
Кстати, при $l = 2\pi$, все собственные значения - кратные: каждому - (кроме $k=1$) - соответствует пара собственных функций. При малом изменении $l$ они раздвояются - это соответствует тому, что в формуле стоит $\pm$.

Да, но какие большие проблемы ожидаются при учете Дирака и начальных условий!

[DeBill]

Выражаются: собственные функции (для заданного $\lambda =k-k^2 -1$):
$X_k = \sin (k(x-\frac{l}{2})) \cdot \sin ((k-1)\frac{l}{2}) -\sin ((k-1)(x-\frac{l}{2}))\cdot \sin (k\frac{l}{2})$,

$Y_{k} = \cos (k(x-\frac{l}{2})) \cdot \sin ((k-1)\frac{l}{2}) +\cos ((k-1)(x-\frac{l}{2}))\cdot \sin (k\frac{l}{2}) $


$X_{1-k} = \cos (k(x-\frac{l}{2})) \cdot \cos ((k-1)\frac{l}{2}) -\cos ((k-1)(x-\frac{l}{2}))\cdot \cos (k\frac{l}{2}) $

$Y_{1-k} = -\sin (k(x-\frac{l}{2})) \cdot \cos ((k-1)\frac{l}{2}) -\sin ((k-1)(x-\frac{l}{2}))\cdot \cos (k\frac{l}{2})$,

Ну, если, конечно, я где-нить в знаках не напутал...

[Drimerg]

Всем спасибо! Пришлось изменить граничные условия, сделать более простыми

[Singular]

Поделитесь тем, что Вы изменили? И, вообще, интересно было бы узнать "природу" Вашей системы дифуров.