Система дифуров

[Drimerg]

Подскажите, пожалуйста, как можно решить эту систему?

$\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} - \frac{\partial \varphi}{\partial x} - w - Dirac(x-vt) $
$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial w}{\partial x} - \varphi$

Граничные и начальные условия:

$x=0,l: w=-\varphi+\frac{\partial w}{\partial x}=0$
$t=0: w=\varphi=\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0$

Dirac - это дельта-функция дирака. $v$ - известно (константа).
$w(x,t), \varphi(x,t)$

Можно ли каждую из функций $w,q,Dirac$ представить как бесконечную сумму некоторой функции от t, умноженную на $\sin(\pi \cdoti x \cdotx i/l)$

[Red_Herring]

Drimerg в сообщении #1106383 писал(а):

Можно ли каждую из функций $w,q,Dirac$ представить как бесконечную сумму некоторой функции от t, умноженную на $\sin(\pi \cdoti x \cdotx i/l)$

Нет. Можно представить через синус ряд Фурье по $x$ с коэффициентами зависящими от $t$

[Drimerg]

Red_Herring в сообщении #1106390 писал(а):

Drimerg в сообщении #1106383 писал(а):

Можно ли каждую из функций $w,q,Dirac$ представить как бесконечную сумму некоторой функции от t, умноженную на $\sin(\pi \cdoti x \cdotx i/l)$

Нет. Можно представить через синус ряд Фурье по $x$ с коэффициентами зависящими от $t$

То есть так, например $w=\sum_{i}^{}W_i(t)\sin(\pi \cdoti x \cdotx i/l)$ ?

[Red_Herring]

Именно

[Drimerg]

Red_Herring
но когда я так подставляю и сокращаю на синус и сумму, то в системе остается x. И я не знаю что дальше делать(

[Red_Herring]

Drimerg в сообщении #1106444 писал(а):

но когда я так подставляю и сокращаю на синус и сумму, то в системе остается x. И я не знаю что дальше делать(

Сокращать на сумму это круто (тут есть тема "на экзамене" куда подобное попадает для всеобщего увеселения). Вы в ряды Фурье разлагать умеете? Чему будут коэффициенты р.Ф. для $\delta (x-vt)$ по $х $?

[Drimerg]

Red_Herring в сообщении #1106454 писал(а):

Drimerg в сообщении #1106444 писал(а):

но когда я так подставляю и сокращаю на синус и сумму, то в системе остается x. И я не знаю что дальше делать(

Сокращать на сумму это круто (тут есть тема "на экзамене" куда подобное попадает для всеобщего увеселения). Вы в ряды Фурье разлагать умеете? Чему будут коэффициенты р.Ф. для $\delta (x-vt)$ по $х $?

я имел ввиду, что мы же можем знак суммы опустить, чтобы считать для i-го элемента?
$\delta = \sum_{i} D_i(t)\sin(\pi xi/l)$
$D_i(t)=\int_{0}^{l}\delta (x-vt)\sin(\pi xi/l)dx$ так?

[Red_Herring]

Drimerg в сообщении #1106460 писал(а):

так?

Забыли нормирующий коэффициент $2/l$; чему интеграл равен (я не обсуждаю, как его понимать).

[DeBill]

Drimerg
Довольно поганая системка.
А Вам что нужно: решить ее - как попало, или нужны обоснования?
Если - только решить, то - так и ищите, в виде ряда, как у вас.
Но: для $\varphi$ ряд нужно взять другой: $\varphi (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \Phi _i (t) \cos (\pi ix/l)$
Разлагая Дирака в ряд по синусам, и приравнивая к-ты при одинаковых синусах, получите систему диф уравнений на к-ты $W_i, \Phi _i$ (линейную неоднородную).
Из начальных условий найдете все 4 константы интегрирования....
Зам. При $x<vt$ Дирак равен 0 на вашем отрезке...
О, пока я гулял, тут уже много чего написали. Ну да ладно, пусть это тоже будет...

[Drimerg]

Red_Herring в сообщении #1106461 писал(а):

Drimerg в сообщении #1106460 писал(а):

так?

Забыли нормирующий коэффициент $2/l$; чему интеграл равен (я не обсуждаю, как его понимать).

сам интеграл равен $(Heaviside(-tv+l)-Heaviside(-vt)) \sin(\pi v t i/l)$
считал в maple

[DeBill]

Drimerg
И не забудьте про граничные условия!
А кто он такой ( в смысле - чему равен) - этот самый Хевисайд - знаете?
А не то - не дай бог - ляпнете такое на экзамене - мало вам не покажется...

-- 14.03.2016, 04:34 --

DeBill в сообщении #1106462 писал(а):

. При $x<vt$ Д

Опечатка: надо $l<vt$

-- 14.03.2016, 04:35 --

Drimerg в сообщении #1106463 писал(а):

считал в maple

А надо - ручками....

[Red_Herring]

Прошу прощения: не обратил внимания на граничные условия, там надо искать не $\sin (\pi nx/l)$ а подыскивать с.ф. т.е. вначале рассмотреть $w= W(x)e^{i\omega t), \varphi =\Phi (x)e^{i\omega t)$ без начальных условий и правых частей.

[Drimerg]

DeBill
Red_Herring
поправил граничные условия

$x=0,l: w=-\varphi+\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=0$

DeBill
Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака

Получается, что я могу взять так? ведь удовлетворяет граничным условиям
$\varphi (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \Phi _i (t) \cos (\pi ix/l)$
$w (x,t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \W _i (t) \sin (\pi ix/l)$

[Red_Herring]

Я не заметил сослепу 2ные равенства. Т.е. оставим $w=0, -\varphi+\frac{\partial w}{\partial x}=0$

Чтобы разлагать, надо решить задачу на с.з. А так: w в Вашем разложении на концах равно 0, а второе г.у. не выполнено

[sup]

Может лучше преобразование Лапласа?
Там, правда, получатся два уравнения второго порядка.
Но коэффициенты постоянные и правая часть специального вида.