Верхняя граница количества натуральных решений диоф.уравнен

[vicvolf]

g______d в сообщении #1104530 писал(а):

А вы внимательнее посмотрите, чему равно $s$ для многочлена $x-y$ ...

Да, $s=0$, поэтому в доказательстве получается правильная верхняя оценка $nN^{k-1}$. Спасибо!

[vicvolf]

DeBill в сообщении #1104538 писал(а):

Вы хотите РЕШИТЬ задачу, или НЕ РЕШИТЬ ее? ..

Извините, что был таким дотошным, но хотелось разобраться. Дело в том, что я уже решил эту задачу, правда другим геометрическим методом. Этот метод сначала казался совсем простым.

Использовал то, что прямая в пространстве может пересекать алгебраическую поверхность $n$ порядка, если не является ее образующей, максимально в $n$ точках. Поэтому, если провести перпендикуляры к координатной плоскости из точек с натуральными значениями координат, то каждый такой перпендикуляр пересечет поверхность, если не является ее образующей, максимально в $n$ точках. В гиперкубе со стороной $N$ таких перпендикуляров $N^{k-1}$, поэтому максимально таких пересечений будет $n(N)^{k-1}$. Поэтому количество натуральных решений алгебраического диофантового уравнения $f(x_1, ...x_k)=0$ порядка $n$ в гиперкубе со стороной $N$ не превосходит $n(N)^{k-1}$.

Возникает вопрос, что делать, если перпендикуляр, параллельный одной из осей координат, совпадает с прямолинейной образующей алгебраической поверхности?

Если перпендикуляр, параллельный одной из осей координат, совпадает с прямолинейной образующей алгебраической поверхности, то мы изменим направление перпендикуляров и проведем их параллельно другой оси координат. Будем изменять направление перпендикуляров до тех пор, пока не найдем такое направление, что все перпендикуляры не будут совпадать с прямолинейными образующими алгебраической поверхности.

Это невозможно сделать только в случае, если все прямолинейные образующие алгебраической поверхности $n$ порядка, проходящие через какую-то точку, параллельны всем $k$ осям координат. Таких поверхностей много. Это усложняет доказательство, но и в этом есть свои плюсы - можно сделать классификацию таких поверхностей.

Из классификации становится ясно, что для пространства размерности $k$ существует только одна поверхность степени $1<n<k$ , соответствующая неприводимому многочлену - конус $n$ порядка:
$(x_1-x_{10}) \cdot ...\cdot (x_{k-1}-x_{k-1,0})+...+(x_2-x_{20}) \cdot ...\cdot (x_{k}-x_{k0})=0$.
Количество натуральных решений данного уравнения в гиперкубе со стороной $N$ равно:
$R_k(N)=kN^{k-2}<nN^{k-1}$ при больших $N$.

Доказательство для случая приводимых многочленов также провел методом математической индукции.

Поэтому меня интересовало, если ли более простые варианты доказательства этого утверждения. И Вы показали это. Признаться не ожидал. Думал, что получу только голословное сообщение от BruKvalub, что это тривиально, либо вообще не получу ответа. Поэтому я Вам очень благодарен! Очень приятно, что на форуме есть такие участники!

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1104643 писал(а):

Думал, что получу только голословное сообщение от BruKvalub, что это тривиально, либо вообще не получу ответа.

Да, могу подтвердить, что сформулированный здесь вами "новый выдающийся результат теории диофантовых уравнений" является тривиальным наблюдением и не позволит вписать ваше имя в когорту основоположников теории чисел.

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1104650 писал(а):

Да, могу подтвердить, что сформулированный здесь вами "новый выдающийся результат теории диофантовых уравнений" является тривиальным наблюдением и не позволит вписать ваше имя в когорту основоположников теории чисел.

Хотелось бы ознакомиться хотя бы с одним Вашим результатом (можно не выдающимся) по теории диофантовых уравнений и вообще? Вы не создали за 10 лет ни одной дискуссионной темы! Только огромное количество замечаний другим, порой унизительных. Что не сделаешь для удовлетворения собственного тщеславия. Очень удобная позиция. Не ошибается тот, кто ничего не делает!

[Someone]

vicvolf в сообщении #1104668 писал(а):

Хотелось бы ознакомиться хотя бы с одним Вашим результатом (можно не выдающимся) по теории диофантовых уравнений и вообще? Вы не создали за 10 лет ни одной дискуссионной темы!

Какое отношение к научной работе имеет создание тем в дискуссионном разделе форума? С моей точки зрения, форум вообще является малоподходящим местом для обсуждения научной работы.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Someone, ну нужно же было господину vicvolf попытаться разжечь флейм и хоть в чем-то обвинить меня, "доказав", что все, кто указывают ему на его напрасные потуги совершить на ровном месте "великое открытие" - "жалкие и ничтожные люди" . А для своих целей, как я указал выше, vicvolf не гнушается любыми грязными средствами.

[Lia]

Оффтоп отделен в «Зачем нужен форум вообще и дискуссионный раздел в частности?»

[g______d]

vicvolf в сообщении #1104643 писал(а):

Если перпендикуляр, параллельный одной из осей координат, совпадает с прямолинейной образующей алгебраической поверхности, то мы изменим направление перпендикуляров и проведем их параллельно другой оси координат. Будем изменять направление перпендикуляров до тех пор, пока не найдем такое направление, что все перпендикуляры не будут совпадать с прямолинейными образующими алгебраической поверхности.

Ну, кстати говоря, по-прежнему плохо. Если продолжать ваше "если", то получится, что для любого направления, параллельного осям, существует точка, такая, что из этой точки в этом направлении выходит плохой перпендикуляр. Но это ещё не значит, что существует одна точка со свойством из последней фразы; для каждого направления может быть своя точка.

Соответственно,

vicvolf в сообщении #1104643 писал(а):

Из классификации становится ясно

тоже очень сомнительно.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1104769 писал(а):

vicvolf в сообщении #1104643 писал(а):

Если перпендикуляр, параллельный одной из осей координат, совпадает с прямолинейной образующей алгебраической поверхности, то мы изменим направление перпендикуляров и проведем их параллельно другой оси координат. Будем изменять направление перпендикуляров до тех пор, пока не найдем такое направление, что все перпендикуляры не будут совпадать с прямолинейными образующими алгебраической поверхности.

Ну, кстати говоря, по-прежнему плохо. Если продолжать ваше "если", то получится, что для любого направления, параллельного осям, существует точка, такая, что из этой точки в этом направлении выходит плохой перпендикуляр. Но это ещё не значит, что существует одна точка со свойством из последней фразы; для каждого направления может быть своя точка.

Согласен.

Цитата:

vicvolf в сообщении #1104643 писал(а):

Из классификации становится ясно

тоже очень сомнительно.

Спасибо. В доказательстве не совсем так. Я просто хотел показать идею доказательства. Сейчас вопрос уже закрыт, так как есть более простой вариант.

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1104568 писал(а):

Чтобы понять истинные цели этого участника, достаточно посмотреть на предыдущие открытые им темы, например: http://dxdy.ru/post1091023.html#p1091023

В теме рассматривается использование Кругового метода Харди-Литтлвуда, а в обзоре говорится о необходимости использования других методов. Вы даже не поняли, что дали ссылку на введение совсем к другой работе, которая не публиковалась на форуме

Цитата:

, или вот на эти исчерпывающие оценки предыдущих его тем:

nnosipov в сообщении #1041483 писал(а):

Утверждение о том, что $2^{l-1}(2^l-1) \sim \zeta(2l-1)/(\zeta(2l-1)-1)$ при $l \to \infty$, не тянет на дискуссионность. Совершенные числа притянуты за уши. В общем, чушь, вполне характерная для данного автора (достаточно взглянуть на список его тем).

А это вообще не моя тема. Это подстава!

Цитата:

Одним словом, ему нужно любой ценой получить "новый эпохальный результа" в теории чисел, и для этого все средства хороши!

А что плохого, что я хочу получить новый научный результат? Плох тот солдат, который не хочет ...! Это Вы используете все средства, чтобы очернить меня и даже подставу!

[Lia]

vicvolf
Прекратите флейм.

[Lia]

Brukvalub в сообщении #1104568 писал(а):

или вот на эти исчерпывающие оценки предыдущих его тем:

nnosipov в сообщении #1041483 писал(а):

Утверждение о том, что $2^{l-1}(2^l-1) \sim \zeta(2l-1)/(\zeta(2l-1)-1)$ при $l \to \infty$, не тянет на дискуссионность. Совершенные числа притянуты за уши. В общем, чушь, вполне характерная для данного автора (достаточно взглянуть на список его тем).

Brukvalub
Замечание за некорректное цитирование.