Вы хотите РЕШИТЬ задачу, или НЕ РЕШИТЬ ее? ..
Извините, что был таким дотошным, но хотелось разобраться. Дело в том, что я уже решил эту задачу, правда другим геометрическим методом. Этот метод сначала казался совсем простым.
Использовал то, что прямая в пространстве может пересекать алгебраическую поверхность

порядка, если не является ее образующей, максимально в

точках. Поэтому, если провести перпендикуляры к координатной плоскости из точек с натуральными значениями координат, то каждый такой перпендикуляр пересечет поверхность, если не является ее образующей, максимально в

точках. В гиперкубе со стороной

таких перпендикуляров

, поэтому максимально таких пересечений будет

. Поэтому количество натуральных решений алгебраического диофантового уравнения

порядка

в гиперкубе со стороной

не превосходит

.
Возникает вопрос, что делать, если перпендикуляр, параллельный одной из осей координат, совпадает с прямолинейной образующей алгебраической поверхности?
Если перпендикуляр, параллельный одной из осей координат, совпадает с прямолинейной образующей алгебраической поверхности, то мы изменим направление перпендикуляров и проведем их параллельно другой оси координат. Будем изменять направление перпендикуляров до тех пор, пока не найдем такое направление, что все перпендикуляры не будут совпадать с прямолинейными образующими алгебраической поверхности.
Это невозможно сделать только в случае, если все прямолинейные образующие алгебраической поверхности

порядка, проходящие через какую-то точку, параллельны всем

осям координат. Таких поверхностей много. Это усложняет доказательство, но и в этом есть свои плюсы - можно сделать классификацию таких поверхностей.
Из классификации становится ясно, что для пространства размерности

существует только одна поверхность степени

, соответствующая неприводимому многочлену - конус

порядка:

.
Количество натуральных решений данного уравнения в гиперкубе со стороной

равно:

при больших

.
Доказательство для случая приводимых многочленов также провел методом математической индукции.
Поэтому меня интересовало, если ли более простые варианты доказательства этого утверждения. И Вы показали это. Признаться не ожидал. Думал, что получу только голословное сообщение от
BruKvalub, что это тривиально, либо вообще не получу ответа. Поэтому я Вам очень благодарен! Очень приятно, что на форуме есть такие участники!