Представление совершенных чисел через дзета-функцию

[Ilya G]

На основании эмпирических данных приведённых в таблице (1) выдвигаются следующие гипотезы:

a)
$S_k\sim \left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor, k\rightarrow \infty $
что равносильно утверждению
$\lim_{k\rightarrow \infty } \frac{\left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor}{S_k}=1$
где,
$S_k$ - совершенное число с индексом $k$ (A000396)
$n=\sigma _0(S_k)-1$ - количество собственных делителей $S_k$ (A133033)
$\sigma _0(S_k)$ - функция делителей
$\zeta (n)=\zeta (\sigma _0(S_k)-1)$ - дзета-функция от количества
собственных делителей $S_k$


b)
Верхний и нижний предел $k$-го совершенного числа
$\left \lfloor \frac{\zeta (n)-\frac{1}{n}}{\zeta (n)-1} \right \rfloor<S_k\leqslant \left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor, k\neq 1$

c) Пусть $S_k$ - совершенное число и $k>1$, тогда существуют такие $n$ и $m$ $\in \mathbb{N}_0 $, что $S_k=\left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor-m\, причём $n=\sigma _0(S_k)-1$ - количество собственных делителей $S_k$, выполняется неравенство $\frac{m}{S_k}<0.005$ и существует предел $\lim_{k\rightarrow \infty }\frac{m}{S_k}=0$

d) Из a) и $\lim_{n\rightarrow \infty }{\left \lfloor \frac{\zeta (n)}{\zeta (n)-1} \right \rfloor}=\infty $ - бесконечность совершенных чисел, и, как следствие,бесконечность простых чисел Мерсенна (A000668), а также связь асимптотики последних с дзета-функцией.

Таблица 1.

[nnosipov]

Очередная бессмысленная тема, типичный кандидат в "Пургаторий".

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1041469 писал(а):

Очередная бессмысленная тема, типичный кандидат в "Пургаторий".

А можно конкретнее?

[nnosipov]

Утверждение о том, что $2^{l-1}(2^l-1) \sim \zeta(2l-1)/(\zeta(2l-1)-1)$ при $l \to \infty$, не тянет на дискуссионность. Совершенные числа притянуты за уши. В общем, чушь, вполне характерная для данного автора (достаточно взглянуть на список его тем).

[Ilya G]

nnosipov в сообщении #1041483 писал(а):

Утверждение о том, что $2^{l-1}(2^l-1) \sim \zeta(2l-1)/(\zeta(2l-1)-1)$ при $l \to \infty$, не тянет на дискуссионность.

Смотрите внимательней и не путайте показатель простого числа Мерсенна A000043 с количеством собственных делителей совершенного числа A133033.

[nnosipov]

Я и не путаю: если число $S_k=2^{l-1}(2^l-1)$ совершенно, то число его делителей, отличных от него самого, равно $2l-1$. Это и есть Ваше $n$.

Обсуждать нечего.

[Ilya G]

nnosipov в сообщении #1041483 писал(а):

Совершенные числа притянуты за уши. В общем, чушь, вполне характерная для данного автора (достаточно взглянуть на список его тем).

Проверьте, для больших порядковых номеров совершенных чисел такая же картина. И как можно притянуть за уши голый расчёт, когда цифра к цифре падает, и чётко просматривается общая асимптотика.

-- 30.07.2015, 18:42 --

nnosipov в сообщении #1041496 писал(а):

Я и не путаю: если число $S_k=2^{l-1}(2^l-1)$ совершенно, то число его делителей, отличных от него самого, равно $2l-1$. Это и есть Ваше $n$.

Вы правы.

[Ilya G]

Графическое обобщение относительно утверждения a)

[Lia]

Ilya G
Что Вы еще хотите обсуждать? Асимптотика поведения дзета-функции очевидна при аргументе, стремящемся к плюс бесконечности, из нее следует, в частности, что $\dfrac{\zeta(n)}{\zeta(n)-1}\sim 2^n,\;n\to\infty$. Это никакой не "эмпирический" (такие слова здесь в качестве обоснования не принимаются), а легко доказываемый чисто технический результат, обоснование которого очевидно. Придумайте сами.

Совершенные числа и все прочее, как уже было замечено, - это попытка придать результату ненужной весомости. Он в этом не нуждается и становится от этого только хуже.

Тема уходит в Пургаторий в связи с заведомой бессмысленностью обсуждения.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: см. выше.