Измерения в квантовой механике

[Viktor92]

Здравствуйте. Начал изучать квантовую механику, уже в течение 3-х дней читал разные источники, пытаясь "поймать" суть физических идей лежащих в основе. Ниже попытаюсь сформировать обобщённую картину, которую вроде как я понял, но более чем вероятно, что я на самом деле ничего не понял , и если в моих рассуждениях есть заблуждения, то прошу указать мне на них. Все свои тезисы и вопросы буду нумеровать, чтобы было проще к ним обращаться.
1). Рассмотрим процесс измерения (взаимодействие с неким классическим объектом по Ландау), на диаграмме кружочки суть измерения, перед первым измерением квантовая система (далее КС) находиться в произвольном неизвестном нам состоянии, проводя первое измерение полного набора физических величин (те которые могут быть измерены одновременно) отбираем те измерения, в которых полный набор примет конкретные наперёд заданные значения $f_1....f_n$, с целью чтобы к измерению $2$ наша КС находилось в одном и том же квантовом состоянии $\Psi$ и уже только из этого состояние проводим измерения $2$. Положим, что в результате этих измерений получим конечное число значений полных наборов $f_1^1..f_n^1,......., f_1^k...f_n^k$, каждый такой набор будет определять конечное состояние (волновую функцию) $\Phi_1....\Phi_k$.
В общем случае в полном наборе физические величины могут быть разной размерности, пусть в наших наборах все величины разной размерности их $n$, введём понятие оператора физической величины, а т.к. у нас разные физические величины, то и операторов должно быть (?) $n$.
$\hat{A_1}\Phi_1^i=f_1^i \Phi_1^i,...., \hat{A_n}\Phi_n^i=f_n^i \Phi_n^i$, $i=1..k$
Т.е. собственные значения операторов суть значение физической величины.
2).Операторы эрмитовы, поэтому их собственные функции (волновые функции) отвечающие собственным значениям ортогональны, т.е. $\Phi_i^*\Phi_k=\delta_{ik}$ (если это не так, то надо отнормировать их)
Если все возможные состояния системы представить, как некое пространство и в нём выбрать базис в виде собственных функций, то исходное состояние в соответствии с принципом суперпозиции можно представить
$\Psi=\sum\limits_{k}a_k \Phi_k$
3) Ранее я везде использовал именно волновые функции (ну которые должны получаться из решения уравнения Шредингера), сейчас попробую ввести векторное представление. $\left\lvert\ \Phi _i \right\rangle$ - это вектор-столбец, на $i$-ом месте которого стоит комплексно-сопряженная волновая функция $\Phi _i^*$ , $i=1,..k$, по норме вектор равен 1.
Вектор $\left\lvert \Psi \right\rangle$ - это вектор-столбец с компонентам $a_1...a_k$ в соответствии с разложением из пункта 2.
Произведение $\left\langle \Phi_i \left\lvert \Psi \right\rangle=a_i \Phi_i=\Psi (f_1^i,..f_n^i)$, $i=1,..k$ Последний член волновая функция, этим я пытался объяснить такую фразу из учебника Иванова "Как понимать квантовую механику" : аргументом волновой функции являются всевозможные результаты измерений,( для нашего примера это $\Psi(f_1^i,..f_n^i)$) некоторого набора величин, а значения функции задают соответствующие амплитуды ( в нашем примере это $a_i \Phi_i$) (с)
4)Непонятно как показать, что квадрат амплитуды волновой функции равен вероятности/плотности вероятности в случае дискретного/непрерывного спектра собственных значений. Получается в нашем примере вероятность появления $i$-го набора равна $a_i^* \Phi_i^*a_i \Phi_i$, ну и собственные функции отнормированы, поэтому вероятность $\left\lvert a_i \left\lvert^2$? Ну и в соответствии с равенством из пункта 3 это тоже самое, что квадрат волновой функции $(\Psi (f_1^i,..f_n^i))^2$.
Но всё равно чувствуется искусственность, почему квадрат амплитуды (волновой функции) вероятность?
5).Волновая функция и вектор состояния - это одно и тоже? И получается любой кет-вектор - это в принципе вектор состояния, т.е. волновая функция?

[amon]

Могу ошибаться, но кажется, что у Вас в голове некоторая каша. Что бы как-то все это упорядочить, попробую провести некую аналогию между волновыми функциями и обычными векторами - авось поможет. Сразу предупреждаю, что эта аналогия неполная, и неразумное ее использование приводит к ошибкам.

Итак, есть у нас вектор $\vec{x}$. Это такая хрень со стрелкой, и что с ней делать - не очень понятно. Что бы свести действия с векторами к автоматизму, удобно ввести базис $\vec{e_i}$ и разложить по нему вектор: $\vec{x}=\sum\limits_{i}x_i\vec{e_i}$. Тогда $x_i$ будут обычными числами, а с ними мы за 5000 лет как-то работать научились. Если пространство евклидово со скалярным произведением $\langle|\rangle$, то $x_i=\langle\vec{x}|\vec{e_i}\rangle$. При этом, одному вектору соответствует много разных наборов чисел - я возьму другой базис $\vec{f_i}$ и получу другой набор: $\vec{x}=\sum\limits_{i}y_i\vec{f_i}$, но $\sum\limits_{i}y_i\vec{f_i}=\sum\limits_{i}x_i\vec{e_i}$. Разные наборы для одного объекта - это не очень удобно, но все операции - например скалярное произведение, мы стараемся определить так, что бы результат от выбора базиса не зависел.

Почти тоже и у бабочек у волновых функций. Есть состояние $|\Psi\rangle$ и знаем мы о нем столько же, сколько об абстрактном векторе. Что бы иметь что-то осмысленное, приходится в пространстве волновых функций вводить базис. В качестве базиса можно взять любой полный набор функций. Например, собственный набор функций оператора координаты: $\hat{X}|x\rangle=x|x\rangle$. Тогда $|\Psi\rangle=\sum\limits_{x}\langle x|\Psi\rangle|x\rangle$ (запись символическая!), и $\langle x|\Psi\rangle$ и есть та самая $\Psi(x)$, с которой обычно начинают рассказки про квантовую механику. (IMHO, понятно, почему $|\Psi(x)|^2$ это плотность вероятности найти частицу в точке $x$). В рассмотренном случае аргумент волновой функции - собственное число оператора наблюдаемой (координаты), поскольку мы так выбрали базис, но ни кто не мешает нам выбрать в качестве базиса полный набор, не являющийся собственными функциями какого-либо оператора физической величины. В этом случае фраза из учебника Иванова будет неверной, а квадрат модуля волновой функции в таком представлении не будет иметь смысла какой-либо вероятности.

Процедура измерения - это проектирование волновой функции на измеренное состояние. Была у нас функция $|\Psi\rangle$ и получилась в результате измерения величина (или набор величин) $a$. Эта самая $a$ есть собственное значение некого оператора $\hat{A}$: $\hat{A}|a\rangle=a|a\rangle$. После измерения из $|\Psi\rangle$ получится $\langle a|\Psi\rangle|a\rangle$, и следующее измерение уже будет иметь дело с этой волновой функцией. Записать все это в $x$-представлении оставляю в качестве упражнения ;)

[Viktor92]

Спасибо, с математическим формализмом я разберусь, до меня не очень доходят основные идеи:
1). Понятие состояния везде вводится без четкого определения, как будто я интуитивно должен это понимать, ну если так, то моя версия: квантовая система существует в объективной реальности, если она изолирована, то её существование и есть то самое состояние, в котором она пребывает бесконечно долго пока мы не проводим измерение, вследствие чего меняем состояние системы.
2). Случай 1: Чистое состояние - это такое состояние, если в результате измерения физической величины получается достоверно однозначный результат $f_n$, каждое такое состояние описывается волновой функцией $\Psi(f_n)$ $n=1,2..$ нормированной на 1. Правильно ли я понимаю, что отсюда и вытекает соответствующий мат. аппарат, т.е. мы вводим оператор данной физ. величины, а волновые функции чистых состояний суть его собственные функции, а собственные значение - значения физических величин, т.е.
$\hat{A}\Psi(f_n)=f_n\Psi(f_n)$ или переписав символически$\hat{A}\left\lvert\Psi\right\rangle=f\left\lvert\Psi\right\rangle$
Случай 2: Пусть теперь чистое состояние - это такое состояние, в результате измерения которого появляются достоверно однозначный полный набор нескольких физ. величин разной природы (размерности) $f_1^k...f_n^k$, $n$ число физических величин, $k=1,2,...$. Каждое такое состояние описывается волновой функцией $\Psi(f_1^k...f_n^k)$. Как теперь здесь вводить операторы физических величин
(по аналогии со случаем 1), получается нужно $n$ операторов $\hat{A_n}$?
3). Как получает волновые функции соответствующие чистым в определённом выше смысле состояниям, экспериментально или теоретически? А потом надо "подобрать" операторы соответствующих физ. величин? Т.е. мне хочется узнать, экспериментальную базу квантовой механики, нигде об этом не написано
4). Правильно ли я понимаю, допустим что мы знаем каким-то чудом волновую функцию квантовой системы до измерения, проводим эксперимент-измерение полного набора, получаем некие физ. величины $f_1,...,f_n$, подставляем в известную до эксперимента волновую функцию $\Psi(f_1,...,f_n)$, и только после эксперимента мы будем знать вероятность появление данного набора из исходного состояния $(\Psi(f_1,...,f_n))^2$?
Получается главные проблемы экспериментальной квантовой механики - знать волновые функции и уметь "приготовить" чистые состояния?

amon в сообщении #1100720 писал(а):

Записать все это в $x$-представлении оставляю в качестве упражнения ;)

Извиняюсь, не понял что конкретно мне надо записать в x-представлении?

[amon]

Конспективно:

Viktor92 в сообщении #1100885 писал(а):

Понятие состояния

Пока считайте, что состояние (чистое) и $|\Psi\rangle$ это синонимы.

Чистое состояние - состояние, для которого $|\Psi\rangle$ известно. Ваше понимание этого вопроса неправильное.

Измерение всегда меняет $|\Psi\rangle$ (состояние), за исключением того редкого случая, когда $|\Psi\rangle$ - собственное состояние измеряемой величины и больше мы ничего по случайности не измерили. Только в последнем случае измерение дает однозначный результат (предполагается, что мы умеем готовить состояние $|\Psi\rangle$ много раз одинаково). Во всех других случаях измерения одного и того же состояния будет давать разные результаты.

Результатом измерения будет одно из собственных значений оператора измеряемой величины, вообще говоря, каждый раз разное, и подставлять эти результаты куда-либо не представляется разумным.

По-моему, Вы слишком зациклены на процедуре измерения. Попробуйте лучше понять, как конкретные системы описываются, а потом вернитесь к вопросу об измерениях.

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1100885 писал(а):

Понятие состояния везде вводится без четкого определения

Попробуйте читать ФЛФ-8,9.

Предупреждение: поначалу это всё "совсем с другого конца", и может попросту никак не стыковаться с изложенным в ЛЛ-3 и других учебниках типового подхода. Но потом, в середине или в конце, всё состыкуется. Просто Фейнман пользуется другими соглашениями и другим формализмом, из нескольких возможных.

[physicsworks]

Не используйте ЛЛ3 в качестве первой книги по квантовой механике. Ничего хорошего из этого не получится. Будете использовать ЛЛ3 как справочник когда выучите квантовую механику по другим книгам.

Другие книги, которые поставят вас на рельсы:

0. Griffiths (уровень бакалавриата или undergrad) Решайте задачи!!! Решебник можно найти в интернете. У Griffiths'а еще есть книги по электродинамике и по элементарным частицам.
1. Sakurai (или Townsend, у него обозначения лучше и почти (урезанная) копия Сакураи) Уровень Grad. Опять же, Решайте все задачи из Сакураи!!! Решебник можно найти в интернете. Можно использовать материалы из курса 221 читаемого Littlejohn'ом в Berkeley (его lecture notes --- разжеванный и улучшенный Сакураи).
2. Messiah
3. Cohen, Tannoudji
4. Weinberg (обозначения!)
5. Liboff

Из книг на русском:
1. Киселев (уровень немного выше Сакураи).

Опять же, Фейнмана лучше почитать потом, когда-нибудь, или параллельно некоторые главы.

[physicsworks]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1100904 писал(а):

Чистое состояние - состояние, для которого $|\Psi\rangle$ известно.

нет, это состояние, которое можно описать единственным вектором (а вообще лучом) в гильбертовом пространстве. А само состояние мы можем и не знать.

[chislo_avogadro]

(Оффтоп)

physicsworks в сообщении #1100922 писал(а):

[off]

amon в сообщении #1100904 писал(а):

Чистое состояние - состояние, для которого $|\Psi\rangle$ известно.

нет, это состояние, которое можно описать единственным вектором (а вообще лучом) в гильбертовом пространстве. А само состояние мы можем и не знать.
[end of off]

Казалось бы, гильбертово пространство описывает суперпозиции состояний (повороты...), а сами состояния (векторы) - это ведь всё-таки $|\Psi\rangle$?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Казалось бы, гильбертово пространство описывает состояния. То, что суперпозиции состояний — тоже состояния (и что суперпозиция и поворот — это мягкое и тёплое), напоминать не будем.

[chislo_avogadro]

(Оффтоп)

Всё же скорее голубое и зелёное.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Или алое и алоэ. Можно играть в слова, но вы же отличаете линейную комбинацию от линейного оператора? Если нет, слова бесполезны; если да, слова бесполезны.

[chislo_avogadro]

(Оффтоп)

При чём тут я? Да и вы, кстати.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Это же ваш комментарий был таким не относящимся к комментируемому. Мои были: я предложил не путать суперпозицию и поворот.

[chislo_avogadro]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1100973 писал(а):

я предложил не путать суперпозицию и поворот

Тут вы, конечно, правы. Я имел ввиду преобразования суперпозиций при поворотах - неряшливо выразился, извиняюсь. Но нужно быть математиком до мозга костей, чтобы понять это как утверждение тождественности суперпозиции и поворота

[arseniiv]

(Оффтоп)

Там так стратегически скобки расставлены, что трудно понять по-другому.