Измерения в квантовой механике

[Viktor92]

Metford в сообщении #1146858 писал(а):

Вы не могли бы назвать место, где Вам это встретилось? Хочется прежде в саму книгу заглянуть.

Лекция 2, пункт 2.6 (в моей книге стр.32), там выводится стационарное уравнение Шредингера.

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1146856 писал(а):

Или с ручной регулировкой, но я не помню соответствующие команды, да и нечто среднее между двумя отображёнными тут размерами, вроде, получить в три слова затруднительно.

Последовательность big < Big < bigg < Bigg.
-: $\langle q|\hat{H}|\Psi\rangle$
big: $\bigl<q\big|\hat{H}\big|\Psi\bigr>$
Big: $\Bigl<q\Big|\hat{H}\Big|\Psi\Bigr>$
bigg: $\biggl<q\bigg|\hat{H}\bigg|\Psi\biggr>$
Bigg: $\Biggl<q\Bigg|\hat{H}\Bigg|\Psi\Biggr>$

-- 26.08.2016 22:33:24 --

Viktor92 в сообщении #1146849 писал(а):

А как понимать такие манипуляции у Киселева, почему он выносит оператор таким образом?

$$\langle q\lvert \hat{H}\lvert\Psi\rangle = \hat{H_q}\langle q \lvert \Psi \rangle= \hat{H_q} \Psi(q)$$

Попробую ответить. Это не "выносит оператор". Здесь вначале стоит оператор сам по себе, а в конце - другая величина. Это оператор в координатном представлении. Например, могут быть такие формулы для первого и второго:

$$\hat{H}=\dfrac{\hat{p}^2}{2m},\qquad\hat{H}_x=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}\quad\textit{или}\quad\hat{H}_\mathbf{r}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2.$$

Надеюсь, теперь ясно, что это всё-таки вещи разные.

[Viktor92]

[

Munin в сообщении #1146861 писал(а):

Здесь вначале стоит оператор сам по себе, а в конце - другая величина. Это оператор в координатном представлении.

Правильно ли я понял, это просто такая условность в обозначениях и возможно не общепринятая, в начале когда всё в скобках Дирака у нас просто некий абстрактный оператор, потом когда его "вынесли" он уже конкретно в координатном представлении, т.е. вместо него можно написать ваши выражения выше.

[warlock66613]

Попробую дополнить ответ Munin (получилось сложно, так что если совсем не поймёте, что я дальше излагаю, — забейте). Формально это выносится так:

$\langle q | \hat{H} | \Psi\rangle = \sum\limits_{q'} \langle q | \hat{H} | q'\rangle \langle q' | \Psi\rangle = \sum\limits_{q'} \langle q | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q') = \left(\sum\limits_{q'} \langle q'' | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q')\right)\limits_{q''=q}$

Выражение в скобках является некоторой функцией (от $q''$), а подстановка $q''=q$ означает, что надо взять значение этой функции в точке $q$. Сама же эта некоторая функция получается из функции $\Psi(\cdot)$ применением к последней определённых математических преобразований (домножением на таблицу коэффициентов $\langle q'' | \hat{H} | q'\rangle$ и суммированием результатов). Это можно записать как $\hat H_q \Psi$, где $\hat H_q$ — математический оператор, предписывающий применить к функции $\Psi$ указанные преобразования и превратить ее тем самым в другую функцию, а индекс $q$ указывает, что этот оператор связан именно с координатным представлением. Объединяя всё, и получаем, что

$\langle q | \hat{H} | \Psi\rangle = \hat H_q \Psi(q)$

Как правило, оказывается, что оператор $\hat H_q$ можно записать с помощью обычных математических операторов вроде "взять производную второго порядка по $q$ (т. е. $\frac {d^2} {dq^2}$)" — см. примеры в сообщении Munin.

[amon]

Viktor92 в сообщении #1146870 писал(а):

Правильно ли я понял, это просто такая условность в обозначениях и возможно не общепринятая

Попытаюсь еще раз на примере векторов. Есть у нас вектор. Это такая фигня со стрелочкой, к числам отношения не имеющая. Мы их можем складывать и умножать на число, и при этом стрелочки как-то поворачиваются и растягиваются по неким правилам. Поскольку по убогости нашей мы предпочитаем иметь дело с числами, то мы придумали как стрелочки записать в виде столбцов (или строк) чисел. Для этого вектор надо спроектировать на базис, и эти проекции (числа) будут называться координатами векторов. Кроме того, можно воспользоваться теоремой из линейной алгебры о том, что собственные вектора самосопряженного линейного оператора (пространство пока конечномерно - это замечание для математических пуритан) образют полную ортонормированную систему векторов, и использовать их как базис.

Так вот, также и у бабочек и в Гильбертовом пространстве квантовой механики (отличия есть, но пока сходство важнее). Такая штука как $|\Psi\rangle$ это вектор в абстрактном Гильбертовом пространстве (хрень со стрелкой). Он ни каких координат не имеет, как их не имеет обычный вектор. Координаты появляются, если мы введем базис. При этом, для одного и того же вектора координаты могут быть разные в зависимости от того, какой базис мы выбрали. В качестве базиса можно взять собственные вектора какого-нибудь линейного оператора. Оператор - это такая линейная хрень, которая из одного вектора делает другой: $\hat{X}|\Psi\rangle=|\Phi\rangle$. Опять же, как эта хрень выглядит зависит от выбора базиса. Пусть в качестве базиса мы выбрали собственные функции оператора координаты $\hat{X}|x\rangle=x|x\rangle$. Тогда аналог координаты вектора есть $\langle x|\Psi\rangle$. Поскольку собственное значение оператора это число, и скалярное произведение векторов - тоже число, то можно написать $\langle x|\Psi\rangle=\Psi(x)$ - обычная, человеческая функция. Если взять другой базис - $|\xi\rangle$, то тот же самый вектор в таком базисе будет представлен другой функцией $\tilde{\Psi}(\xi)$ (Вопрос - собственные функции какого-то (хорошего) оператора $\hat{A}$ приняли за базис. Как выглядят собственные функции этого оператора в этом базисе.)

Аналогично с операторами, но на них уже сил сейчас нет. Если пойдет - продолжим завтра в ночи.

[Munin]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #1146885 писал(а):

Как правило, оказывается, что оператор $\hat H_q$ можно записать с помощью обычных математических операторов вроде "взять производную второго порядка по $q$ (т. е. $\frac {d^2} {dq^2}$)"

Я думаю, это даже доказывается, через понятие о квантовании и $C^*$-алгебре операторов.

[Viktor92]

warlock66613 в сообщении #1146885 писал(а):

$\langle q | \hat{H} | \Psi\rangle = \sum\limits_{q'} \langle q | \hat{H} | q'\rangle \langle q' | \Psi\rangle = \sum\limits_{q'} \langle q | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q') = \left(\sum\limits_{q'} \langle q'' | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q')\right)\limits_{q''=q}$

Я так понимаю во втором выражении вы применили соотношение замкнутости $\sum\limits_{q'}^{}\lvert q' \rangle\langle q' \lvert=\hat{E}$, а вот непонятно зачем 3 выражение нужно, можно было сразу $q''$ написать?

amon в сообщении #1146905 писал(а):

Аналогично с операторами, но на них уже сил сейчас нет. Если пойдет - продолжим завтра в ночи.

Спасибо, линейную алгебру я в общем неплохо знаю, но вот что-то аналогия на гильбертово пространство да ещё и дираковские обозначения трудновато переносится, бывает торможу...

[Metford]

Viktor92 в сообщении #1147017 писал(а):

линейную алгебру я в общем неплохо знаю, но вот что-то аналогия на гильбертово пространство да ещё и дираковские обозначения трудновато переносится

А Вы с функциональным анализом, видимо, незнакомы? Хотя бы с основами.
Обозначения Дирака - это принципиально тот же язык векторов из линейных пространств и линейных функционалов из сопряжённых линейных пространств. Только без индексов. Остальная часть формализма по большей части связана с выбором базиса и переходом от одного базиса к другому.

[warlock66613]

Viktor92 в сообщении #1147017 писал(а):

вот непонятно зачем 3 выражение нужно, можно было сразу $q''$ написать?

Я не понял как это "сразу написать". А преобразование нужно, чтобы получить выражение в скобках, не зависящее от $q$. Поскольку $q$ уже "занято" (оно имеет вполне определённый смысл, т. к. присутствует слева от знака равенства), то оно не позволило бы нам интерпретировать это выражение как действие оператора на функцию.

[Viktor92]

Metford в сообщении #1147019 писал(а):

А Вы с функциональным анализом, видимо, незнакомы?

Очень мало знаком, например меру Лебега не проходили и сопряженные пространства тоже.

warlock66613 в сообщении #1147022 писал(а):

А преобразование нужно, чтобы получить выражение в скобках, не зависящее от $q$.

Правильно ли я понял, выражение $\sum\limits_{q'} \langle q | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q')$ нельзя интерпретировать, как оператор действующий на волновую функцию, а $ \left(\sum\limits_{q'} \langle q'' | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q')\right)\limits_{q''=q}$ уже можно?.

[warlock66613]

Viktor92 в сообщении #1147024 писал(а):

Правильно ли я понял, выражение $\sum\limits_{q'} \langle q | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q')$ нельзя интерпретировать, как оператор действующий на волновую функцию

Да, потому что под $q$ может подразумеваться конкретное значение (ну, например, $q = 3$). Таким образом мы можем интерпретировать это только как функционал, зависящий от $q$ (то есть в зависимости от значения $q$ будут разные функционалы), действующий на волновую функцию и превращающий её в число (поэтому это и будет функционал, а не оператор).

Viktor92 в сообщении #1147024 писал(а):

а $ \left(\sum\limits_{q'} \langle q'' | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q')\right)\limits_{q''=q}$ уже можно?.

Нет, это $\sum\limits_{q'} \langle q'' | \hat{H} | q'\rangle \Psi(q')$ уже можно так интерпретировать: поскольку $q''$ может быть любым, то можно рассматривать это выражение как определение функции, в котором $q''$ — обозначение аргумента.

-- 28.08.2016, 02:00 --

В общем-то, если изначально подразумевать, что начальное выражение — это именно функция от $q$ (то есть $q$ не имеет фиксированного значения), то $q''$ не нужно.

[Munin]

(Оффтоп)

Вы, уважаемый warlock66613, с этим $q''$ что-то перемудрили, мне кажется...

[warlock66613]

(Оффтоп)

Да, обсуждение уже заняло больше, чем оно того стоит.