Геометрическая оптика

[Evgeniy Petrovich]

Здравствуйте уважаемые любители физики! Помогите пожалуйста разобраться в простом вопросе! Одно из уравнений ГО приводится к виду $\operatorname{div}(nE^2 s )=0 $, где $E$ амплитуда электрического поля, а $s$ единичный вектор, перпендикулярный волновому фронту. Это уравнение непрерывности, причем величина в скобках истолковывается как плотность потока электромагнитной энергии. Но, с другой стороны, та же величина определяется вектором Пойнтинга, который (кроме константы) отличается множителем $\mu$. В чем тут дело?

[Slav-27]

Evgeniy Petrovich
А что такое $n$? (Откуда взялось это уравнение?)

[Evgeniy Petrovich]

$n$ это показатель преломления, уравнение возникает из волнового уравнения в эйкональном приближении, когда амплитуда мало меняется на длине волны.

$E \Delta \Phi +2n\frac{\partial E}{\partial s}=0$, здесь $\Phi$ это эйконал.

[DimaM]

Evgeniy Petrovich в сообщении #1096204 писал(а):

Но, с другой стороны, та же величина определяется вектором Пойнтинга, который (кроме константы) отличается множителем $\mu$. В чем тут дело?

Есть мнение (и не только мое), что $n$ и $\mu$ как-то связаны.

[Evgeniy Petrovich]

Очень хорошо, что вы подняли этот вопрос ув. DimaM! Они действительно связаны. Величина в скобках это $\sqrt{\varepsilon\mu} E^2$, а в векторе Пойтинга будет $\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} E^2$. Если $\mu$ зависит от координат, то уравнению непрерывности будет удовлетворять только одна величина, ув. DimaM, вы это уже заметили?

[DimaM]

Evgeniy Petrovich
Считается, что на оптических частотах $\mu=1$. Поэтому неважно, в числителе оно стоит или в знаменателе.
А вот хамить не нужно, здесь этого не любят.

[Evgeniy Petrovich]

Спасибо за ответ, ув. DimaM! Полностью с вами согласен насчет хамства, это выглядит отвратительно. Но, ведь тогда получается, что геометрическая оптика возникает только при особых магнитных свойствах среды, это для меня довольно неожиданно.

[Munin]

Все свойства, при которых возникает геометрическая оптика, прописаны явно в том месте, где выводится уравнение эйконала.

[Evgeniy Petrovich]

Всем спасибо за ответы, вопрос решен.

[Evgeniy Petrovich]

DimaM в сообщении #1096232 писал(а):

Evgeniy Petrovich
Считается, что на оптических частотах $\mu=1$. Поэтому неважно, в числителе оно стоит или в знаменателе.

Это экспериментальный факт, но при выводе уравнения эйконала берется волновое уравнение в среде, причем среда учитывается введением проницаемостей. При этом будет формульная симметрия между $E$ и $H$. Если начасть с $H$, то отличие от вектора Пойнтинга будет на $\varepsilon$. Почему берется именно $E$, а не $H$?

[amon]

Evgeniy Petrovich в сообщении #1096410 писал(а):

Это экспериментальный факт

Нет, теоретический. Для оптических частот можно и нужно класть $\mu=1$. Почему - написано, к примеру, у Ландау-Лифшица в "Электродинамике сплошных сред", параграф 79 "Дисперсия магнитной проницаемости" (стр 372 по изданию 1982 года).

[Red_Herring]

Уравнения Максвелла при отсутствии токов и зарядов
\begin{align*} &\varepsilon \partial_t \mathbf{E}=\nabla \times \mathbf{H}, && \nabla\cdot (\varepsilon \mathbf{E})=0,\\ &\mu \partial_t \mathbf{H}=-\nabla \times \mathbf{E}, && \nabla\cdot (\mu \mathbf{H})=0 \end{align*}
где $\varepsilon , \mu$ могут зависеть от $x$ и даже быть симметрическими матрицами (в кристаллооптике). Тогда плотность энергии $\mathcal{E}=\frac{1}{2}(\varepsilon \mathbf{E}\cdot \mathbf{E} + \mu \mathbf{H}\cdot \mathbf{H})$ (я игнорирую стандартные числовые множители) удовлетворяет
\begin{equation*} \partial_t \mathcal{E} + \nabla \cdot \mathbf{S}=0, \qquad \mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{H} \end{equation*}
где \mathcal{S}$ и называется вектором Пойнтинга. Всё симметрично.

ПС. Для кристаллоптики с её весьма сложными "волновыми" поверхностями обычная геометрическая оптика не работает. В однородной анизотропной среде см. книгу Куранта "УЧП" (не путать с Курантом-Гильбертом) изданную в 60х и увы, практически забытую к настоящему времени

[Munin]

amon
Ну хорошо, а если мы хотим построить геометрическую оптику на радиочастотах? Скажем, для просвечивания Земного шара.

[amon]

Munin в сообщении #1096418 писал(а):

Ну хорошо, а если мы хотим построить геометрическую оптику на радиочастотах?

А тут дело даже не в геометрической оптике, а в уравнениях Максвелла в среде, от которых танцуем. В них можно не вводить вектор $\mathbf{H}$, ограничившись вектором $\mathbf{B}$ (материальные уравнения в этом случае прячутся в диэлектрическую проницаемость). Целесообразность того или иного подхода определяется удобством. Если можно пренебречь $\frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}$ по сравнению с $c\operatorname{rot}\mathbf{M},$ то осмысленно вводить по-отдельности магнитную и диэлектрическую проницаемости, если, как в оптике, наоборот, то удобно использовать только диэлектрическую.

[Munin]

Ок, так что сохраняется? Вектор Пойнтинга, или странная величина в $\mu$ раз меньше него?