2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 16:41 


19/06/14
248
Новосибирск
Замкнуто ли объединение?
$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{\left[10^{-n},1\right]}$
На первый взгляд нет - 0 не входит ни в один из отрезков, но поскольку $0.(9)=1$ скорость сходимости может иметь значение.
Другими словами, мне непонятно входит ли число 1 в счетное объединение:
$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{\left[0,1-10^{-n}\right]}$
Если входит, то ответ на первый вопрос должен быть положительным.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
2585
Arkhipov в сообщении #1087589 писал(а):
Замкнуто ли объединение?
$\Big\cup{\left[10^{-n},1\right]}$

Если объединение берётся по всем натуральным $n$, то оно является полуинтервалом $(0,1]$ и, очевидно, не является замкнутым множеством.
Arkhipov в сообщении #1087589 писал(а):
На первый взгляд нет, но поскольку 0,(9)=1скорость сходимости может иметь значение.

Поясните, пожалуйста, свою мысль.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.01.2016, 16:59 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10609
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.01.2016, 17:56 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10609
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
2585
Arkhipov в сообщении #1087589 писал(а):
Другими словами, мне непонятно входит ли число 1 в счетное объединение:
$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{\left[0,1-10^{-n}\right]}$

А что такое объединение множеств? Вы это помните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
845
матмех спбгу
см. post1061078.html#p1061078

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 18:14 


19/06/14
248
Новосибирск
Это множество, в которое входят все элементы, принадлежащие какому-нибудь из множеств совокупности. Я понимаю, что ни одно из множеств не содержит $0.(9)$, однако при бесконечном количестве девяток данное определение мне кажется схоластичным. Можно ли пояснить ответ как-то более прозрачно?

-- 02.01.2016, 21:20 --

demolishka в сообщении #1087604 писал(а):

Я не говорю о пределах, мне интересно, как интерпретировать:
$[0, 1-10^{-n}]$
при сколько угодно больших n.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
2585
Arkhipov в сообщении #1087605 писал(а):
Я понимаю, что ни одно из множеств не содержит $0.(9)$, однако при бесконечном количестве девяток данное определение мне кажется схоластичным.

Извините, не понимаю Ваш "образ".
Лучше ответьте сами: если ни одно из объединяемых множеств не содержит единицу, входит ли единица в это самое объединение? Только исходя из буквы определения, а не из Вашей личной трактовки его "духа". И, кстати, обратите внимание на пост demolishka. Думаю, он точно определил причину Ваших сомнений: незачем, построив объединение множеств, далее строить замыкание этого объединения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11962
Казань
Arkhipov
Как-то странно вы ставите вопрос... В одном вопросе изучаете два бесконечных объединения... Это создаёт путаницу!
Arkhipov в сообщении #1087605 писал(а):
Это множество, в которое входят все элементы, принадлежащие какому-нибудь из множеств совокупности. Я понимаю, что ни одно из множеств не содержит $0.(9)$, однако при бесконечном количестве девяток данное определение мне кажется схоластичным.
Что такое "схоластичное определение"? Или определение, или нет :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 18:31 


19/06/14
248
Новосибирск
Это произошло случайно: сначала я задумался над первым, а когда попытался объяснить оказалось, что второе удачней.

-- 02.01.2016, 21:44 --

Mihr в сообщении #1087606 писал(а):
И, кстати, обратите внимание на пост demolishka. Думаю, он точно определил причину Ваших сомнений: незачем, построив объединение множеств, далее строить замыкание этого объединения.

Я понял его мысль так: в бесконечной последовательности
$\lbrace 0.9, 0.99,  \cdots \rbrace$ не содержится $0.(9)$. Именно это мне кажется схоластикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
2585
Arkhipov в сообщении #1087608 писал(а):
Я понял его мысль так: в бесконечной последовательности
$\lbrace 0.9, 0.99,  \cdots \rbrace$ не содержится $0.(9)$.

Ну, если Вам так понятнее, пусть будет так. Действительно, предел числовой последовательности часто не совпадает ни с одним элементом этой последовательности.
Arkhipov в сообщении #1087608 писал(а):
Именно это мне кажется схоластикой.

Здесь комментировать нечего. Если Вам какой-то факт в математике "не нравится"... Что тогда делать? Наверное, постараться хотя бы привыкнуть к нему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 19:26 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10609
Arkhipov в сообщении #1087608 писал(а):
Я понял его мысль так: в бесконечной последовательности
$\lbrace 0.9, 0.99,  \cdots \rbrace$ не содержится $0.(9)$. Именно это мне кажется схоластикой.

Это ничего. Назовите номер элемента последовательности, который равен $0.(9)$. Сотый? Миллионный? Еще какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 19:40 


19/06/14
248
Новосибирск
Спасибо большое за интересную дискуссию. Привыкнуть я смогу; но все же дело не совсем в пределах. Пусть я строю последовательность равенств:
$1=1$
$2=1+1$
$3=1+1+1$
Я не понимаю, почему бесконечная последовательность
$\lbrace  \lbrace1\rbrace, \lbrace1,1\rbrace, \cdots \rbrace$
не содержит бесконечного числа единиц?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3366
Arkhipov, а что Вы называете "схоластикой"? По-моему, всё в точности наоборот: схоластикой было бы объявлять, что точка $1=0.(9)$ входит в последовательность $0.9, 0.99, \dots$, хотя не совпадает ни с первым её членом, ни со вторым, ни с третьим, ... - просто на основе какого-то смутного интуитивного представления, что члены последовательности "сколь угодно близко" подходят к точке $1$. В математике говорят, что некоторое число есть член последовательности, только если оно имеет в этой последовательности конкретный (и конечный) номер.

А это смутное интуитивное представление, о котором шла речь, формализуется по-другому: говорят, что хотя $1$ и не есть член последовательности, но является её предельной точкой. Так же и с Вашим изначальным объединением множеств и точкой $0$: никто не спорит, что $0$ есть предельная точка для этого объединения. Но вот говорить о том, что $0$ принадлежит этому объединению, будет неправильно, потому что эта точка не принадлежит ни одному конкретному множеству из объединяемых.

-- 02.01.2016, 19:45 --

Arkhipov, в последнем сообщении Вы написали какую-то ерунду, уж извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединение отрезков
Сообщение02.01.2016, 19:48 
Заслуженный участник


16/02/13
3630
Владивосток
Во-первых, она не содержит бесконечного числа единиц, потому что не содержит единиц вообще. Она содержит, насколько я могу судить, последовательности единиц. Если вы имеете в виду, что эта последовательность последовательностей не содержит бесконечную последовательность единиц, то это происходит примерно по той же причине, что она не содержит розового единорога: ни в какой строчке из вами перечисленных нет ни того, ни другого.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group