Топология пространства-времени и частицы

[Dmitriy40]

А частицы обязательно элементарны? Если нет, то можно раскрутить одну из частиц и получить выделенную ось (не направленную точно на вторую частицу), от которой уже можно измерять углы скорости второй частицы. Для элементарных частиц не уверен что спин даст такую ось, потому их исключим.

[Alexander4702]

arseniiv в сообщении #1124051 писал(а):

По крайней мере, стоит привести одно более-менее существенное уточнение: «на самом деле» в пространстве поля, а не конечное число точечных частиц, так что к физике этой Вселенной вопрос отношения иметь не будет, хотя какой-то толк от него и останется.

Теперь представьте себе не обязательно плоское пространство. Возьмём двумерный тор и одну частицу на нём и пустим по геодезической. Мы можем так подгадать с выбором этой геодезической, что частица когда-нибудь пройдёт сколь угодно близко от любой интересующей точки тора. Можно придумать что-то подобное и с бо́льшим числом частиц и размерностью многообразия, в котором они бегают.

Далее, ортогонально искривлённости пространства то, как частицы взаимодействуют. Никто не говорил, что они обязаны оставаться в одной и той же гиперплоскости. (Тогда как минимум у их скоростей будут нормальные натянутой на них гиперплоскости компоненты.) Иногда это так, но раз уж мы рассматриваем возможности, не обязательно хорошо описывающие ту единственную реальность, которая у нас, почему бы и нет.

неверно. Предположите, что частицы движутся относительно друг друга, и примите одну за неподвижную. Направление скорости второй может быть по отношению к направлению на первую разным!

И совсем напоследок стоит заметить, что я попытался выразить всем этим неявно, но что вряд ли будет так уж видно: стоит задавать вопросы о таких гипотетических вещах более точно, чтобы на них можно было дать какой-то один ответ. Гипотетические физические системы могут вести себя весьма по-разному.

Я понимаю, что на "самом деле" деле таки все эти рассуждения и постановка задачи с учётом полей весьма бредоваты))
Впрочем, насколько мне известно(а мне это известно вскользь, возможно, это не так) есть более-менее нормальные теории, в которых данное утверждение не справедливо, кажется causal sets(причинные множества), кто его знает, возможно, в их рамках этот вопрос, имеет какой-то, отличный от нуля смысл.
Впрочем, Вы, конечно, правы - задача пока к физике имеет мало отношений да и сформулирована неточно. Проблема в том что задача, если бы её сформулировать скорее всего была бы чисто математической, но моих знаний не хватает, что бы понять какая тут должна быть формулировка.

Что касается "физики". Ну точнее псевдофизических аналогий, то в них мне мыслится всё же немного легче. Так что, там можно было представить следующим образом. Представим что есть две частицы, которые по условиям задачи можно считать точечными. Они находятся в пространстве неизвестной размерности. Если использовать лишь ту информацию, которые могут получить эти частицы, то каковы будут их законы движения и можно ли из них определить настоящую размерность их пространства. Мне кажется, что если допустить, что эти частицы каким то образом могут измерять время и расстояние то единственный закон движение доступный для каждой из них будет прост и не будет содержать никакого указания на настоящую размерность пространства (просто одна координата от времени, с точки зрения каждой из двух систем отчёта). Если нудеть в большей степени, то даже для измерения расстояния им потребуются часы и какая-то третья частица, которой они могли бы обмениваться(что кстати противоречит первоначальным условиям задачи), кроме того они должны быть способны измерить её энергию. Если быть ещё более нудным, то совершенно непонятно каким образом точечная частица может измерять время. Таким образом, если пользоваться информацией доступной лишь нашей пары частиц, то во второй и третьей степени нудности получается следующее. Их физика могла бы быть представлена либо связью между смещением в энергии третьей частицы, которой они обмениваются с временем обмена. При сохранении условий на наличие всего двух частиц, не вводя частицу переносчик, вся их физика была бы представлена частотой их собственных столкновений(либо ничем, если бы, они никогда не взаимодействовали). Ну и на третьем уровне нудности и безумия, единственное, чем могли бы оперировать такие частицы - переключением двух состояний - столкновение, не столкновение, так как измерить промежуток времени между этими событиями они не могут, впрочем как и измерить номер их столкновения(за отсутствием в них устройства для запоминания этого номера) и тд и тп
Тоесть на мой взгляд для изначально сформулированной задачи - нет, никак нельзя выяснить истинный закон движения оперируя лишь информацией, которая доступна паре частиц.

[arseniiv]

Ой, стёр свой пост по ошибке.

Geen в сообщении #1124110 писал(а):

Это будет ненаблюдаемо - так как нет ничего от чего можно отсчитывать направление...

Почему? Вот мы заставили частицу 1 стоять на месте. Теперь точно определён $\mathbf v_2$ (и $\mathbf v_1=0$). А так же у нас уже имелся $\mathbf r_{12} := \mathbf r_1-\mathbf r_2$ (или, скажем, касательный вектор к геодезической, соединяющей частицы, если такая есть, в направлении кратчайшего расстояния от 1 к 2, etc.) Выбор единицы времени не изменит $\angle(\mathbf r_{12},\mathbf v_2)$, и мы его можем найти.

[Dmitriy40]

Проблема в том, что без наличия ещё одной оси мы сможем найти лишь проекцию $\vec{v}$ на прямую, проходящую через обе частицы. А определить угол поворота вокруг этой прямой - никак не определить.

Что мешает использовать спин частиц в качестве ещё одной оси мне непонятно. Ну или не спин, а какой-нибудь момент импульса вращательного движения ...

С другой стороны, если кроме этих двух частиц нет больше вообще ничего, в том числе никаких полей и частиц-переносчиков взаимодействий, то и взаимодействий частиц не будет. Никогда, никакого. Что впрочем не помешает ввести систему координат, но будет ли она иметь отношение к физической реальности - вопрос.

При наличии же полей размерность пространства определить в принципе можно - по скорости ослабления полей в зависимости от расстояния между частицами.

[arseniiv]

Dmitriy40 в сообщении #1124198 писал(а):

Проблема в том, что без наличия ещё одной оси мы сможем найти лишь проекцию $\vec{v}$ на прямую, проходящую через обе частицы. А определить угол поворота вокруг этой прямой - никак не определить.

Ну давайте найдём проекцию и сравним с тем, что мы в движениях на этой прямой наблюдаем. Можно будет узнать компоненту скорости, нормальную этой прямой, кажется.

[Dmitriy40]

Ну это само собой, что вдоль этой прямой мы всё получим. А этого достаточно? Точно нет никаких объективных характеристик частиц (или их взаимодействий), которые зависят от полного состояния частицы, а не только от одной проекции? Я что-то сомневаюсь, но ни доказательства ни контрпримера пока не придумывается.

[arseniiv]

Кстати, если у нас всего две частицы, то мы и расстояния между ними с такой позицией определить не можем — только узнать, ноль оно или нет.

[Alexander4702]

Попробую всё-таки сформулировать эту задачу математически.
Пусть есть некоторый набор точек a_1, a_2, a_n на произвольном пространстве $M$, размерности $X$ . Пусть нам известны расстояния между каждой парой точек $d_1_2, d_1_3...d_1_n...$. Определить минимальную размерность пространства $M$, которая могла бы включать эти точки для произвольного значения n. То есть, найти функцию $X_m_i_n=X_m_i_n(n)$ при каждом сочетании значений $d$.

Чисто интуитивно можно предположить, что для $n=1, X_m_i_n=0$, для $n=2, X_m_i_n=1$, для $n=3, X_m_i_n=2$, для $n>3$, $X_m_i_n=3$ по крайней мере для ряда сочетаний $d$.
Хотя при определённом наборе $d$ при любом $n$ , $X_m_i_n$ может равняться $1,2$

[arseniiv]

Alexander4702 в сообщении #1124223 писал(а):

на произвольном пространстве $M$, размерности $X$

Евклидовом аффинном, многообразии, метрическом, ещё где-то? Плюс, у вас даны только расстояния, а точки ведь могли бы как-то двигаться. Потому вообще лучше бы ограничить сразу вид пространства-времени, а не одного только пространства, и что-то сказать про возможности движения точек.

Если точки не двигаются и есть только пространство (но это не очень похоже на физику), притом, например, евклидово, задача решается несложно, т. к. такие пространства меньших размерностей вкладываются в пространства больших, и мы можем, начиная с нульмерного, пытаться разместить точку за точкой, увеличивая размерность на единицу, когда не выходит. С другими должно быть немного сложнее. Метрическое пространство в общем случае может выглядеть очень весело и не иметь размерности, но вряд ли вы имели его в виду.

[Dmitriy40]

$X_{min}=n-1$, не? Вроде бы всегда можно так расположить следующую точку (расстояния до текущих), чтобы фигура перестала "влезать" в пространство текущей размерности.

[Alexander4702]

arseniiv в сообщении #1124227 писал(а):

Евклидовом аффинном, многообразии, метрическом, ещё где-то? Плюс, у вас даны только расстояния, а точки ведь могли бы как-то двигаться. Потому вообще лучше бы ограничить сразу вид пространства-времени, а не одного только пространства, и что-то сказать про возможности движения точек.

Если точки не двигаются и есть только пространство (но это не очень похоже на физику), притом, например, евклидово, задача решается несложно, т. к. такие пространства меньших размерностей вкладываются в пространства больших, и мы можем, начиная с нульмерного, пытаться разместить точку за точкой, увеличивая размерность на единицу, когда не выходит. С другими должно быть немного сложнее. Метрическое пространство в общем случае может выглядеть очень весело и не иметь размерности, но вряд ли вы имели его в виду.

Аффинное, думаю.
Давайте сначала рассмотрим наиболее простой вариант, а потом уже перейдём к динамике, если всё просто.

-- 18.05.2016, 00:53 --

Dmitriy40 в сообщении #1124229 писал(а):

$X_{min}=n-1$, не? Вроде бы всегда можно так расположить следующую точку (расстояния до текущих), чтобы фигура перестала "влезать" в пространство текущей размерности.

Это уже, скорее, $X_{max}$ в противном случае для 100 точек нам нужно как минимум 99 мерное пространство. Ну и да, тут как-то нужно учесть конфигурацию, так-то и бесконечное число точек можно поместить в одномерном пространстве.

P.S. Хотя нет, $X_{max}$ тоже не подходит.

-- 18.05.2016, 00:57 --

Dmitriy40 в сообщении #1124198 писал(а):

Проблема в том, что без наличия ещё одной оси мы сможем
При наличии же полей размерность пространства определить в принципе можно - по скорости ослабления полей в зависимости от расстояния между частицами.

Кстати, тут встаёт вопрос, а как эти частицы будут мерить поля?

[arseniiv]

Dmitriy40 в сообщении #1124229 писал(а):

Вроде бы всегда можно так расположить следующую точку (расстояния до текущих), чтобы фигура перестала "влезать" в пространство текущей размерности.

Я почему-то решил, что $X_\mathrm{min}$ зависит от набора расстояний. Если нет, то конечно.

Alexander4702 в сообщении #1124237 писал(а):

Аффинное, думаю.

Хорошо, только не просто аффинное, потому что там нет расстояний.

-- Ср май 18, 2016 02:17:51 --

Alexander4702 в сообщении #1124237 писал(а):

Это уже, скорее, $X_{max}$ в противном случае для 100 точек нам нужно как минимум 99 мерное пространство. Ну и да, тут как-то нужно учесть конфигурацию, так-то и бесконечное число точек можно поместить в одномерном пространстве.

P.S. Хотя нет, $X_{max}$ тоже не подходит.

Максимума не будет, потому что если точки можно засунуть в $n$-мерное евклидово, можно засунуть и в $(n+1)$-мерное. Это именно минимум, если позволять расстояниям быть какими угодно (совместимыми со свойствами расстояния, конечно — а если не существует метрического пространства, в котором в нашем наборе точек были бы данные расстояния, то нет и евклидова, потому что оно заодно и метрическое, и можно для красоты принять $X_\mathrm{min}=\infty$.

[Dmitriy40]

Хм, а я почему-то решил, что надо найти минимальную размерность не для заданной конфигурации расстояний, а для произвольной. И тогда $X_{min}=n-1$.

Если же вопрос про конкретную конфигурацию, то навскидку так и не скажешь, может потребоваться размерность от $0$ до $n-1$. Во всяком случае несложно построить примеры для любого значения из этого диапазона. И как найти размерность по набору расстояний без перебора вариантов я не знаю.

-- 18.05.2016, 00:39 --

(Неравенство треугольника)

А подскажите, существует ли расширение неравенства треугольника на бОльшие размерности? Скажем для пространственного 4-х угольника (не лежащего в одной плоскости) есть подобное условие? Или при повышении размерности условия резко усложняются (как при переходе от прямой к плоскости)? А может есть общий подход к построению такого условия на любые размерности?
Если есть, то можно его и проверять для определения необходимой размерности.

[arseniiv]

Это ведь вопрос о наличии решений у систем квадратных уравнений многих переменных вида

$$\bigwedge_{i,j\in1..n} (a_i-a_j)^2 = d_{ij}^2$$

(конечно, можно спокойно считать $a_i$ векторами и взять $a_1 = 0$) для каждой размерности из $0..n-1$. Кажется, они довольно известны, и потому и ситуация с их совместностью?

-- Ср май 18, 2016 02:43:39 --

(Неравенство треугольника)

Dmitriy40 в сообщении #1124250 писал(а):

А подскажите, существует ли расширение неравенства треугольника на бОльшие размерности? Скажем для пространственного 4-х угольника (не лежащего в одной плоскости) есть подобное условие? Или при повышении размерности условия резко усложняются (как при переходе от прямой к плоскости)? А может есть общий подход к построению такого условия на любые размерности?
Если есть, то можно его и проверять для определения необходимой размерности.

Неравенство треугольника работает (по определению) для любых метрических пространств, потому я лично не понял, как его обобщать, включая размерность.

[Dmitriy40]

(Неравенство треугольника)

Ну вот для размерности 2 есть оно самое, неравенство, сформулированное сразу в терминах расстояний (длин сторон). Увеличим количество точек до 4-х и размерность до 3. Имея лишь длины 4-х сторон можно ли достаточно простым способом определить укладывается ли 4-х угольник в плоскость? Для треугольника это можно (проверить что он превращается в отрезок), а для 4-х угольника и плоскости? И аналогично для $n$-угольника в размерности $n-1$?

Впрочем, подумав, понял что такого условия быть и не может. В плоском 4-х угольнике можно потянуть одну из точек и выйти из плоскости не меняя никаких длин сторон. Вах.

Хотя, длина диагонали при этом будет меняться, а значит условие всё же можно придумать, но только если есть все пары расстояний, а не только длины сторон.