2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 14:16 


10/03/13
74
Здравствуйте. Нужно оценить погрешность интегрирования методом Гаусса. Предложили сделать это так:
Пусть, например, интеграл равен $I = \Gamma +R_\Gamma$, где $I$ - точное значение интеграла, $\Gamma$ - результат вычисления интеграла методом Гаусса, $R_\Gamma$ - его погрешность. Пусть $T$ - интеграл, вычисленный составным правилом трапеций. Предложили оценить погрешность так: $R_\Gamma = |\Gamma -T|$, то есть предполагая, что интеграл по менее точному правилу равен $T$: $I\approx T$.
Можете подсказать, исходя из чего мы можем сделать такое предположение? Или это неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 14:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
Dellghin в сообщении #1073318 писал(а):
Можете подсказать, исходя из чего мы можем сделать такое предположение? Или это неверно?
Тут слишком много недоговорок. Как соотносятся количества узлов для метода Гаусса и для трапеций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 14:50 


10/03/13
74
Количеств узлов судя по всему одинаково. Но в случае трапеций они равномерные, а для Гаусса табличные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 14:58 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
Тогда идея действительно очень груба, хотя, за неимением лучшего, может и сойти. Некое обоснование, по-видимому, можно получить, повозившись с правилом Рунге и методом Кронрода, но, пожалуй, проще ограничиться наивным соображением, что если результат вычисления слабо меняется при изменении положения узлов, то он более-менее правдоподобен.

В общем, на математическом уровне строгости это никуда не годится. Если же речь идет о какой-то прикладной задаче - сойдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 15:15 


10/03/13
74
Тогда можно оценить таким образом?
$|R_\Gamma|\leq |\Gamma_n - T_n| + \frac{4}{3}|T_n-T_{2n}|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 15:17 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
Dellghin в сообщении #1073344 писал(а):
Тогда можно оценить таким образом?
Можно. Смотря для чего Вам это нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 15:26 


10/03/13
74
Хорошо, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Странная постановка задачи. Обычно оценивают точность метода интегрирования в определенном классе интегрируемых функций, и такая оценка существенно зависит, например, от гладкости этого класса. А "просто оценить точность метода интегрирования" - это немыслимо! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 21:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Brukvalub в сообщении #1073371 писал(а):
и такая оценка существенно зависит, например, от гладкости этого класса.

Нет, не зависит. Ибо функция заведомо предполагается заведомо бесконечно гладкой (точнее, достаточно гладкой, иначе же формулировка этой теоремки разрастается до полной бессмысленности).

Саму постановку задачки можно расценить -- да, не более чем нелепую. Но тут стандартная проблема. Попробуйте-ка сформулировать задачку (неважно какую) на численные методы так, чтоб она она оказалась одновременно и корректной, и при этом ещё и содержательной. Уверяю Вас: это не так-то просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 11:35 
Заслуженный участник


30/01/09
5056
Dellghin в сообщении #1073318 писал(а):
Предложили оценить погрешность так: $R_\Gamma = |\Gamma -T|$,

(Предложение конечно странное, но) И далеко получилось продвинуться на этом пути?

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7938
Москва
А чем метод Гаусса-Кронрода не устраивает?
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2% ... re_formula

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 12:27 
Заслуженный участник


30/01/09
5056
Евгений Машеров
Тут дело не в методе, а в том как оценить погрешность метода Гаусса. Обычно тут возникают сложные формулы, в котором учавствет производная $2n$-го порядка. Тут пытаются найти что-то альтернативное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 13:28 
Заслуженный участник


03/01/09
1504
москва
Для погрешности метода трапеций есть простая верхняя оценка. А так как $|\Gamma -T|=|R_{\Gamma }-R_T|$, то $|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|+|R_T|.$
Такая оценка имеет смысл, если метод Гаусса имеет большую точность, чем метод трапеций. Тогда $\Gamma $ может быть вычислена по меньшему числу точек, чем $T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 13:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
mihiv в сообщении #1073663 писал(а):
$|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|+|R_T|.$
Такая оценка имеет смысл, если метод Гаусса имеет большую точность, чем метод трапеций.

Тогда эта оценка не имеет ни малейшего смысла, т.к. именно тогда будет формально верной оценка $|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|$. Хотя и грубой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 14:16 
Заслуженный участник


03/01/09
1504
москва
Точнее, я имел в виду вот что. Пусть мы вычислили $\Gamma $ по $m$ точкам, а $T$ - по $n$ точкам. Тогда, если метод Гаусса имеет большую точность, то эта оценка позволяет определить при каком $m<n, R_{\Gamma }\sim R_T.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group