2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 14:16 
Здравствуйте. Нужно оценить погрешность интегрирования методом Гаусса. Предложили сделать это так:
Пусть, например, интеграл равен $I = \Gamma +R_\Gamma$, где $I$ - точное значение интеграла, $\Gamma$ - результат вычисления интеграла методом Гаусса, $R_\Gamma$ - его погрешность. Пусть $T$ - интеграл, вычисленный составным правилом трапеций. Предложили оценить погрешность так: $R_\Gamma = |\Gamma -T|$, то есть предполагая, что интеграл по менее точному правилу равен $T$: $I\approx T$.
Можете подсказать, исходя из чего мы можем сделать такое предположение? Или это неверно?

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 14:44 
Dellghin в сообщении #1073318 писал(а):
Можете подсказать, исходя из чего мы можем сделать такое предположение? Или это неверно?
Тут слишком много недоговорок. Как соотносятся количества узлов для метода Гаусса и для трапеций?

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 14:50 
Количеств узлов судя по всему одинаково. Но в случае трапеций они равномерные, а для Гаусса табличные.

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 14:58 
Тогда идея действительно очень груба, хотя, за неимением лучшего, может и сойти. Некое обоснование, по-видимому, можно получить, повозившись с правилом Рунге и методом Кронрода, но, пожалуй, проще ограничиться наивным соображением, что если результат вычисления слабо меняется при изменении положения узлов, то он более-менее правдоподобен.

В общем, на математическом уровне строгости это никуда не годится. Если же речь идет о какой-то прикладной задаче - сойдет.

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 15:15 
Тогда можно оценить таким образом?
$|R_\Gamma|\leq |\Gamma_n - T_n| + \frac{4}{3}|T_n-T_{2n}|$

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 15:17 
Dellghin в сообщении #1073344 писал(а):
Тогда можно оценить таким образом?
Можно. Смотря для чего Вам это нужно.

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 15:26 
Хорошо, спасибо.

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 16:05 
Аватара пользователя
Странная постановка задачи. Обычно оценивают точность метода интегрирования в определенном классе интегрируемых функций, и такая оценка существенно зависит, например, от гладкости этого класса. А "просто оценить точность метода интегрирования" - это немыслимо! :shock:

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение14.11.2015, 21:20 
Brukvalub в сообщении #1073371 писал(а):
и такая оценка существенно зависит, например, от гладкости этого класса.

Нет, не зависит. Ибо функция заведомо предполагается заведомо бесконечно гладкой (точнее, достаточно гладкой, иначе же формулировка этой теоремки разрастается до полной бессмысленности).

Саму постановку задачки можно расценить -- да, не более чем нелепую. Но тут стандартная проблема. Попробуйте-ка сформулировать задачку (неважно какую) на численные методы так, чтоб она она оказалась одновременно и корректной, и при этом ещё и содержательной. Уверяю Вас: это не так-то просто.

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 11:35 
Аватара пользователя
Dellghin в сообщении #1073318 писал(а):
Предложили оценить погрешность так: $R_\Gamma = |\Gamma -T|$,

(Предложение конечно странное, но) И далеко получилось продвинуться на этом пути?

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 12:13 
Аватара пользователя
А чем метод Гаусса-Кронрода не устраивает?
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2% ... re_formula

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 12:27 
Аватара пользователя
Евгений Машеров
Тут дело не в методе, а в том как оценить погрешность метода Гаусса. Обычно тут возникают сложные формулы, в котором учавствет производная $2n$-го порядка. Тут пытаются найти что-то альтернативное.

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 13:28 
Для погрешности метода трапеций есть простая верхняя оценка. А так как $|\Gamma -T|=|R_{\Gamma }-R_T|$, то $|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|+|R_T|.$
Такая оценка имеет смысл, если метод Гаусса имеет большую точность, чем метод трапеций. Тогда $\Gamma $ может быть вычислена по меньшему числу точек, чем $T$.

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 13:52 
mihiv в сообщении #1073663 писал(а):
$|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|+|R_T|.$
Такая оценка имеет смысл, если метод Гаусса имеет большую точность, чем метод трапеций.

Тогда эта оценка не имеет ни малейшего смысла, т.к. именно тогда будет формально верной оценка $|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|$. Хотя и грубой.

 
 
 
 Re: Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса
Сообщение15.11.2015, 14:16 
Точнее, я имел в виду вот что. Пусть мы вычислили $\Gamma $ по $m$ точкам, а $T$ - по $n$ точкам. Тогда, если метод Гаусса имеет большую точность, то эта оценка позволяет определить при каком $m<n, R_{\Gamma }\sim R_T.$

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group