Погрешность вычисления интеграла методом Гаусса

[Dellghin]

Здравствуйте. Нужно оценить погрешность интегрирования методом Гаусса. Предложили сделать это так:
Пусть, например, интеграл равен $I = \Gamma +R_\Gamma$, где $I$ - точное значение интеграла, $\Gamma$ - результат вычисления интеграла методом Гаусса, $R_\Gamma$ - его погрешность. Пусть $T$ - интеграл, вычисленный составным правилом трапеций. Предложили оценить погрешность так: $R_\Gamma = |\Gamma -T|$, то есть предполагая, что интеграл по менее точному правилу равен $T$: $I\approx T$.
Можете подсказать, исходя из чего мы можем сделать такое предположение? Или это неверно?

[Pphantom]

Dellghin в сообщении #1073318 писал(а):

Можете подсказать, исходя из чего мы можем сделать такое предположение? Или это неверно?

Тут слишком много недоговорок. Как соотносятся количества узлов для метода Гаусса и для трапеций?

[Dellghin]

Количеств узлов судя по всему одинаково. Но в случае трапеций они равномерные, а для Гаусса табличные.

[Pphantom]

Тогда идея действительно очень груба, хотя, за неимением лучшего, может и сойти. Некое обоснование, по-видимому, можно получить, повозившись с правилом Рунге и методом Кронрода, но, пожалуй, проще ограничиться наивным соображением, что если результат вычисления слабо меняется при изменении положения узлов, то он более-менее правдоподобен.

В общем, на математическом уровне строгости это никуда не годится. Если же речь идет о какой-то прикладной задаче - сойдет.

[Dellghin]

Тогда можно оценить таким образом?
$|R_\Gamma|\leq |\Gamma_n - T_n| + \frac{4}{3}|T_n-T_{2n}|$

[Pphantom]

Dellghin в сообщении #1073344 писал(а):

Тогда можно оценить таким образом?

Можно. Смотря для чего Вам это нужно.

[Dellghin]

Хорошо, спасибо.

[Brukvalub]

Странная постановка задачи. Обычно оценивают точность метода интегрирования в определенном классе интегрируемых функций, и такая оценка существенно зависит, например, от гладкости этого класса. А "просто оценить точность метода интегрирования" - это немыслимо!

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1073371 писал(а):

и такая оценка существенно зависит, например, от гладкости этого класса.

Нет, не зависит. Ибо функция заведомо предполагается заведомо бесконечно гладкой (точнее, достаточно гладкой, иначе же формулировка этой теоремки разрастается до полной бессмысленности).

Саму постановку задачки можно расценить -- да, не более чем нелепую. Но тут стандартная проблема. Попробуйте-ка сформулировать задачку (неважно какую) на численные методы так, чтоб она она оказалась одновременно и корректной, и при этом ещё и содержательной. Уверяю Вас: это не так-то просто.

[мат-ламер]

Dellghin в сообщении #1073318 писал(а):

Предложили оценить погрешность так: $R_\Gamma = |\Gamma -T|$,

(Предложение конечно странное, но) И далеко получилось продвинуться на этом пути?

[Евгений Машеров]

А чем метод Гаусса-Кронрода не устраивает?
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2% ... re_formula

[мат-ламер]

Евгений Машеров
Тут дело не в методе, а в том как оценить погрешность метода Гаусса. Обычно тут возникают сложные формулы, в котором учавствет производная $2n$-го порядка. Тут пытаются найти что-то альтернативное.

[mihiv]

Для погрешности метода трапеций есть простая верхняя оценка. А так как $|\Gamma -T|=|R_{\Gamma }-R_T|$, то $|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|+|R_T|.$
Такая оценка имеет смысл, если метод Гаусса имеет большую точность, чем метод трапеций. Тогда $\Gamma $ может быть вычислена по меньшему числу точек, чем $T$.

[ewert]

mihiv в сообщении #1073663 писал(а):

$|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|+|R_T|.$
Такая оценка имеет смысл, если метод Гаусса имеет большую точность, чем метод трапеций.

Тогда эта оценка не имеет ни малейшего смысла, т.к. именно тогда будет формально верной оценка $|R_{\Gamma }|\leq |\Gamma -T|$. Хотя и грубой.

[mihiv]

Точнее, я имел в виду вот что. Пусть мы вычислили $\Gamma $ по $m$ точкам, а $T$ - по $n$ точкам. Тогда, если метод Гаусса имеет большую точность, то эта оценка позволяет определить при каком $m<n, R_{\Gamma }\sim R_T.$