2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение10.11.2015, 10:17 
Найти все идеалы в кольце ${Z}/{6Z}$(классы вычетов по модулю 6)
понятно, что это будут:
-тривиальные идеалы: само кольцо и кольцо, содержащее только нулевой класс.
-идеалы, порожденные нетривиальными делителями (свойства идеала очевидно выполнены):
$\{[0], [2], [4]\}$
$\{[0], [3]\}$

Как просто доказать, что других идеалов тут нет?

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение10.11.2015, 10:31 
Ваши попытки решения?

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение10.11.2015, 11:00 
Sonic86,
пусть p - не делитель 6 - образует идеал кратных p в этом кольце, тогда $p = 4$ или $p = 5$.
$[3][5] = [3 \cdot 5] = [3]$ и $[2][4] = [2 \cdot 4] = [2]$, лежит в этом идеале.
ну ладно это для 6 так просто получилось, перебором, а если модуль побольше взять?

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение10.11.2015, 12:05 
Аватара пользователя
А откуда Вы знаете, что в этом кольце нет других идеалов, которые не порождаются одним элементом?

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение10.11.2015, 13:37 
Вам надо перебирать не делители модуля, а числа, не взаимно простые с ним.
Пусть $a$ - число, $m$ - модуль. Когда существует $a^{-1}$ по модулю $m$. Чему равен $(a)$, если $a$ обратим?

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение10.11.2015, 18:33 
Зачем чего-то перебирать? Идеал --- это подгруппа аддитивной группы кольца вычетов, которая циклична. А описание подгрупп циклической группы должно быть известно.

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение10.11.2015, 18:51 

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #1072094 писал(а):
Зачем чего-то перебирать? Идеал --- это подгруппа аддитивной группы кольца вычетов, которая циклична. А описание подгрупп циклической группы должно быть известно.
Не ну как, мне чтоб все идеалы найти достаточно перебрать множество из 2-х элементов. Можно даже всего из одного :-) Понятно в общем. Я просто смотрю, что ТС берет именно делители, вот и написал.

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение11.11.2015, 01:00 
Sonic86, мы можем перевести обратимые элементы - в классы содержащие единицу домножив их на обратные вычеты -> все обратимые элементы могут принадлежать только к тривиальному идеалу - самому кольцу вычетов по модулю.

-- 11.11.2015, 01:03 --

Sonic86
есть чувство, что не взаимно простые с модулем элементы можно перевести в НОД, суть делитель модуля.
не взаимно простые с модулем элементы можно перевести в НОД - это нужно строго показать.

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение11.11.2015, 09:21 
shukshin в сообщении #1072189 писал(а):
есть чувство, что не взаимно простые с модулем элементы можно перевести в НОД, суть делитель модуля.
не взаимно простые с модулем элементы можно перевести в НОД - это нужно строго показать.
Именно так. Используйте алгоритм Евклида.

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение12.11.2015, 17:36 
Sonic86
AV_77
Xaositect
знаю, что немного надоедлив, но может мне кто-нибудь прояснить, почему все идеалы в этом кольце главные?

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение12.11.2015, 17:43 
Аватара пользователя
Ну например, потому что это факторкольцо $\mathbb{Z}$. Идеалы $R/I$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с идеалами $R$, которые содержат $I$.

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение15.11.2015, 15:48 
Xaositect
а рассуждение вроде:
пусть у нас не один порождающий, возьмем их НОД - он будет единственным порождающим - предположение о том, что порождающий не один неверно.
как доказать, что НОД тоже лежит в идеале?

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение15.11.2015, 16:37 
shukshin в сообщении #1073705 писал(а):
как доказать, что НОД тоже лежит в идеале?

Для начала надо выяснить, что такое идеал. После этого ответ будет очевиден.

PS Вы циклические группы изучали? Обычно их перед теорией колец рассматривают.

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение15.11.2015, 17:14 
AV_77
думаю, что идеал - это подкольцо этого кольца, замкнутое относительное умножения на элемент кольца.
не очевидно.
множество всех линейных комбинаций с коэфф. из кольца - лежит в идеале. это знаю.

циклические группы изучали, верно.

 
 
 
 Re: Классы вычетов, идеалы: уточнить
Сообщение15.11.2015, 17:22 
shukshin в сообщении #1073730 писал(а):
множество всех линейных комбинаций с коэфф. из кольца - лежит в идеале. это знаю.

Ну так НОД и является линейной комбинацией. Что еще-то нужно?

shukshin в сообщении #1073730 писал(а):
циклические группы изучали, верно.

Тогда вы должны знать, что все подгруппы циклической группы циклические. А идеал, как и подкольцо, обязательно является подгруппой аддитивной группы кольца.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group