2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Про кю: строго выпуклая (скажем) биекция Q на Q
Сообщение22.10.2015, 23:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Очень просто. Если у нас уже есть ломаная, то достаточно чуть-чуть выгнуть вниз каждый из прямолинейных отрезков, чтобы получить строгую выпуклость. "Чуть-чуть" -- это значит, что производная на каждом отрезке должна меняться существенно меньше, чем перепад наклонов между этим отрезком и соседними слева и справа. Ну так дробно-линейными функциями добиться этого запросто: с их помощью можно получить для отрезка единичной (по горизонтали) длины линию какого угодно среднего наклона и сколь угодно мало отличающуюся от прямой.

А если ещё и удачно выбрать координаты вершин исходной ломаной (ну, скажем, $\frac{4^n}3+2^{n+2}+n$), то можно для этих функций получить даже и явные выражения. Если вдруг захочется, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Теория множеств - это абсолютное зло
Сообщение26.10.2015, 18:04 
Аватара пользователя


17/09/15
26
Возьмём дугу гиперболы $y=\frac\xi{2-\xi} , 0\le\xi\le1$. Транслируем её гладко на все остальные положительные отрезки. Получилась выпуклая биекция положительных рациональных чисел с формулой $y(x)=4^n\frac \xi{2-\xi}+\frac{4^n-1}3$, где $n$ - целая часть $x$, а $\xi$ - его дробная часть. На отрицательных числах она не работает.
Расширить до всех чисел можно, добавив зеркало
$\xymatrix{{x,y}\ar@{<->}[rrr]&&&{-y,-x}}$
Чтобы стык не мешал и был гладким, надо задающую функцию взять вдвое большей
$y(x)=4^n\frac {2\xi}{2-\xi}+\frac23(4^n-1)$
Остаётся найти ещё одну формулу - сразу на все числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю: строго выпуклая (скажем) биекция Q на Q
Сообщение29.10.2015, 00:13 


16/06/14
96
Несколько мыслей "стоя на плечах гигантов".
Пусть $A,B\subset\mathbb{R}$ - счётные всюду плотные подмножества. Хотим построить выпуклую биекцию.
Действуем по индукции. Для подмножеств $A_n\subset A, B_n\subset B$ построили $f:A_n\to B_n$. Дальше выбираем точнку $a\in A\setminus A_n$. Без проблем можно выбрать образ из $B\setminus B_n$, чтобы не нарушалась выпуклость. Аналогично можно построить прообраз, если начинать из $B\setminus B_n$. Осталось занумеровать $A$ и $B$, поочерёдно выбирать незадействованную точку с наименьшим номером. Чтобы было полностью конструктивно - образ или прообраз новой точки тоже выбираем по наименьшему номеру.
Интересно, а что можно ли отказаться от счётности? Множества пусть будут всюду плотные, их дополнения тоже. Мощности на любом отрезке пусть будут одинаковы, у дополнений тоже. Категории Бэра и классы Бэра для монотонной биекции тоже наверняка сохраняются. Что ещё потребовать?

 Профиль  
                  
 
 Коль пошла такая гулянка
Сообщение29.10.2015, 14:48 
Аватара пользователя


17/09/15
26
1.
deep down в сообщении #1067881 писал(а):
можно ли отказаться от счётности?

Построение даёт непрерывное отображение. Поэтому можно (во всех закоулках?).

2.
deep down в сообщении #1067881 писал(а):
Осталось занумеровать $A$ и $B$, поочерёдно

Ещё чётче строить так. Возьмём $f$ - произвольную биекцию двух точек из $A$ на $B$. Занумеруем $A$ и $B$ одним списком и, перебирая его, пополняем биекцию $f$, когда со стороны $A$, то выпукло, а со стороны $B$ вогнуто.
deep down в сообщении #1067881 писал(а):
Чтобы было полностью конструктивно - образ или прообраз новой точки тоже выбираем по наименьшему номеру.
Долой произвол.

3.Место выпукло/вогнуто может занимать монотонно.

4.Теоретико-множественная ветвь задачи жизнеспособна, но.
Обильнее попутными задачами строить дробно-линейные сплайны на $\mathbb{Q}$.
Призываю думать в эту сторону.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group