2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Про кю: строго выпуклая (скажем) биекция Q на Q
Сообщение21.10.2015, 22:58 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Задачка, навеянная реакцией одного студента на доказательство теоремы Больцано-Коши. Реакция была такая: "а нафига это доказывать?... -- это ж очевидно!..."

Ну там через несколько ступенек бурного обсуждения возникла следующая подзадачка.

Ну хорошо, есть тривиальная биекция $\mathbb Q$ на $\mathbb Q$, осуществляемая линейной функцией. И даже не вполне линейной (ну хоть кусочно). А вот совсем нелинейной?...

Конкретнее: существует ли строго выпуклая (скажем) биекция $\mathbb Q$ на $\mathbb Q$?...

(Оффтоп)

(наверняка это бойан, но мне лень гуглить)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение21.10.2015, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6377
Про выпуклые не буду, а вот про нелинейные скажу.

Ну, $y = \frac{1}{x}$ совсем нелинейная:)
Правда, что-то нужно допиливать с нулем. Скажем, ручками положить, что $y(0) = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 00:07 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Anton_Peplov в сообщении #1065253 писал(а):
Правда, что-то нужно допиливать с нулем.

Там глобальная выпуклость откровенно нарушится. Не в эту сторону следует думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 10:40 


13/08/14
349
$y=x+x^2$ при $x\geqslant0$
$y=-\ln(1-x)$ при $x<0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 10:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11963
Казань
Но ведь логарифм нарушает рациональность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 11:07 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
А квадратичность дырява.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 11:27 
Заслуженный участник


04/03/09
881
Из элементарных функций походу только дробно-линейные подходят. Но срастить одно выпуклое отображение из нескольких дробно-линейных кусков не выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 12:03 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Вообще-то выйдет: никто же не запрещает брать "несколько", равное бесконечности. Хотя я думал в другую сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11963
Казань
Пока не думала, но может какой-то прием, связанный с несократимым представлением дроби?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 12:18 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
Ну для затравки: возьмём сначала какое-нибудь строго выпуклое отображение $\mathbb Z\mapsto\mathbb Q$, уходящее на обе бесконечности; это легко...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю (ну или ку - это уж кому как)
Сообщение22.10.2015, 15:00 
Аватара пользователя


17/09/15
26
Пусть функция $f$ определена в двух рациональных точках $x_1<x_2$, рациональна и (строго) возрастает. Тогда для любой точки $x_1<x<x_2$ её можно доопределить (строго) выпуклым образом с сохранением монотонности и рациональности. Для любого $f(x_1)<y<f(x_2)$ можно подобрать $x$ такой, что $x_1<x<x_2$ и положив $y=f(x)$, сохраним монотонность, выпуклость и рациональность.
Сперва зададим $f$ во всех целых точках, монотонно растущей, выпуклой и бесконечной на концах. Перенумеруем все рациональные числа. Будем перебирать все $x$-ы и $y$-и, чередуя их и доопределяя $f$ вышеуказанным образом, если встретилась ещё не имеющаяся точка графика. Получилась строго выпуклая биекция рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю: строго выпуклая (скажем) биекция Q на Q
Сообщение22.10.2015, 18:24 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5727
 i  Название темы почти полностью изменено без согласия ТС

 Профиль  
                  
 
 Более прямой вариант задачи о рациональной биекции
Сообщение22.10.2015, 21:26 
Аватара пользователя


17/09/15
26
Для любой монотонной вещественной биекции существует сколь угодно близкая к ней рациональная биекция.
Вот понимание близости надо осмысливать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю: строго выпуклая (скажем) биекция Q на Q
Сообщение22.10.2015, 21:54 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
sartok в сообщении #1065566 писал(а):
Вот понимание близости надо осмысливать.

Ох, лучше не надо: вряд ли что осмысленное осмыслится. А конструкция Ваша -- нормальная. Но и с кусочно дробно-линейными можно, так что не понимаю, куда исчез предыдущий оратор. Идея-то ведь у него была правильной, разве что изложена была легкомысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про кю: строго выпуклая (скажем) биекция Q на Q
Сообщение22.10.2015, 22:39 
Аватара пользователя


17/09/15
26
Тоже жаль, что то сообщение исчезло
ewert в сообщении #1065573 писал(а):
с кусочно дробно-линейными можно, так что не понимаю, куда исчез предыдущий оратор. Идея-то ведь у него была правильной

Я попробовал составлять из кусков, но не смог. А полезно видеть сразу два разных решения, тут сумма всегда больше пары слагаемых. Если можно, наметьте другие решения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group