Про кю: строго выпуклая (скажем) биекция Q на Q

[ewert]

Очень просто. Если у нас уже есть ломаная, то достаточно чуть-чуть выгнуть вниз каждый из прямолинейных отрезков, чтобы получить строгую выпуклость. "Чуть-чуть" -- это значит, что производная на каждом отрезке должна меняться существенно меньше, чем перепад наклонов между этим отрезком и соседними слева и справа. Ну так дробно-линейными функциями добиться этого запросто: с их помощью можно получить для отрезка единичной (по горизонтали) длины линию какого угодно среднего наклона и сколь угодно мало отличающуюся от прямой.

А если ещё и удачно выбрать координаты вершин исходной ломаной (ну, скажем, $\frac{4^n}3+2^{n+2}+n$), то можно для этих функций получить даже и явные выражения. Если вдруг захочется, конечно.

[sartok]

Возьмём дугу гиперболы $y=\frac\xi{2-\xi} , 0\le\xi\le1$. Транслируем её гладко на все остальные положительные отрезки. Получилась выпуклая биекция положительных рациональных чисел с формулой $y(x)=4^n\frac \xi{2-\xi}+\frac{4^n-1}3$, где $n$ - целая часть $x$, а $\xi$ - его дробная часть. На отрицательных числах она не работает.
Расширить до всех чисел можно, добавив зеркало
$\xymatrix{{x,y}\ar@{<->}[rrr]&&&{-y,-x}}$
Чтобы стык не мешал и был гладким, надо задающую функцию взять вдвое большей
$y(x)=4^n\frac {2\xi}{2-\xi}+\frac23(4^n-1)$
Остаётся найти ещё одну формулу - сразу на все числа.

[deep down]

Несколько мыслей "стоя на плечах гигантов".
Пусть $A,B\subset\mathbb{R}$ - счётные всюду плотные подмножества. Хотим построить выпуклую биекцию.
Действуем по индукции. Для подмножеств $A_n\subset A, B_n\subset B$ построили $f:A_n\to B_n$. Дальше выбираем точнку $a\in A\setminus A_n$. Без проблем можно выбрать образ из $B\setminus B_n$, чтобы не нарушалась выпуклость. Аналогично можно построить прообраз, если начинать из $B\setminus B_n$. Осталось занумеровать $A$ и $B$, поочерёдно выбирать незадействованную точку с наименьшим номером. Чтобы было полностью конструктивно - образ или прообраз новой точки тоже выбираем по наименьшему номеру.
Интересно, а что можно ли отказаться от счётности? Множества пусть будут всюду плотные, их дополнения тоже. Мощности на любом отрезке пусть будут одинаковы, у дополнений тоже. Категории Бэра и классы Бэра для монотонной биекции тоже наверняка сохраняются. Что ещё потребовать?

[sartok]

1.

deep down в сообщении #1067881 писал(а):

можно ли отказаться от счётности?

Построение даёт непрерывное отображение. Поэтому можно (во всех закоулках?).

2.

deep down в сообщении #1067881 писал(а):

Осталось занумеровать $A$ и $B$, поочерёдно

Ещё чётче строить так. Возьмём $f$ - произвольную биекцию двух точек из $A$ на $B$. Занумеруем $A$ и $B$ одним списком и, перебирая его, пополняем биекцию $f$, когда со стороны $A$, то выпукло, а со стороны $B$ вогнуто.

deep down в сообщении #1067881 писал(а):

Чтобы было полностью конструктивно - образ или прообраз новой точки тоже выбираем по наименьшему номеру.

Долой произвол.

3.Место выпукло/вогнуто может занимать монотонно.

4.Теоретико-множественная ветвь задачи жизнеспособна, но.
Обильнее попутными задачами строить дробно-линейные сплайны на $\mathbb{Q}$.
Призываю думать в эту сторону.