ошибка конечноэлементной модели

[Andrey_Kireew]

помогите разобраться
есть плоская конечноэлементная модель неоднородного проводника
тело - прямоугольник, по торцам заданы условия Дирихле (потенциалы электродов), по бокам заданы граничные условия Неймана $\frac{\partial\varphi}{\partial n}=0$, где n - нормаль к поверхности. Результаты моделирования:

голубые линии - эквипотенциали, красные - силовые линии плотности тока.
При анализе полученного решения обнаружил неприятность - интергральные токи анода и катода не равны. При небольшом различии электропроводностей регионов (10%) эти различия небольшие (0,5%) для 20 граничных сегментов электрода. Сгущение сетки в 64 раза приводит к снижению разницы токов в 10 раз. При двукратном различии электропроводностей различия токов возрастают в 10 раз, доходя до 5%. Сгущение сетки позволяет снизить эту разность до 0,5%.
Анализ решения оказывает, что часть тока выходит через боковые поверхности и тем больше - чем больше неоднородность электропроводности. Т.е. заданное изначально условие Неймана в итоге точно не выполняется.
В связи с этим вопрос: является ли такая ситуация нормальной в МКЭ или налицо какая то ошибка. Подскажите пожалуйста в чём может быть проблема.
для конкретики сообщаю, что модель реализована в Matlab 2013b
граничные условия задаю с помощью символьной матрицы:

B=  [1, 1, 1, 1, 1,  1,'0', '0', '1', '0','*';
     1, 0, 1, 1,'0','0','*','*','*','*','*';
     1, 1, 1, 1, 1,  2, '0', '0', '1', '10';
     1, 0, 1, 1,'0','0','*','*','*','*','*']';

[Munin]

Скорее, нормальной.

Кроме того, у вас задача плохая: в левом нижнем углу расходится.

[Andrey_Kireew]

вот ещё сделал однородное тело $\lambda_1=\lambda_2=1 S\cdot m^{-1}$
геометрия у меня куб $1\times1\times1$, напряжение 10 Вольт, соответственно ток должен быть 10 А
результат численного расчёта 8,96 А, т.е. ошибка 10% даже для однородного тела (анодный и катодный токи правда равны)
сгущаю сетку в 2 раза, получаю 9,49A, т.е. ошибка 5%
для такой простейшей задачи на мой взгляд ошибка чрезмерно большая

можно ли как то её уменьшить?
слышал есть два способа задания условий Дирихле - фиксация и элиминация, на что влияет выбор того или другого из них?
больше всего мне в этом не нравится то, что результирующее решение не удовлетворяет изначально заданным условиям Неймана, может быть использовать альтернативный способ решения СЛАУ, чтобы уменьшить вычислительные ошибки?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: код не оформлен тегом code

Andrey_Kireew
Наберите код с помощью тега code, картинку сносите.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов, внутри формул никаких долларов не нужно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[levtsn]

тоесть конечный элемент такую ерунду не может посчитать?

[Andrey_Kireew]

видимо особенности МКЭ
дальнейшие исследования показали что решение (интегральное электросопротивление) сходится к истинному значению
для однородного тела довольно хорошо, погрешность 1% уже на 50 узлах,
с усилением неоднородности сходимость ухудшается, при трёхкратном различии удельной электропроводности областей 1% погрешность достигается только на сетке из 70000 узлов
при ещё больших неоднородностях решение сходится очень медленно, начинают проявляться ошибки округления, так что исследовать сходимость затруднительно

думаю попробовать прямоугольную сетку, есть подозрения, что она может обеспечить большую точность

[Munin]

Andrey_Kireew в сообщении #1064656 писал(а):

думаю попробовать прямоугольную сетку, есть подозрения, что она может обеспечить большую точность

Как раз наоборот, нужна неоднородная сетка, уплотняющаяся в области особенности.

[Andrey_Kireew]

спасибо, тогда не буду даже и пытаться

[Munin]

Кто задачу ставил (такой проводник выбирал)? В зависимости от ответа, очень разные стратегии, что делать дальше.

[Andrey_Kireew]

посчитал ошибки в треугольниках (встроенная функция matlab), оказалось сто они различаются более чем в $10^7$ раз,
причём самые большие ошибки именно там где вы и говорите
стал делить самые плохие треугольники пополам (чтобы в результате было как можно меньше элементов),
после каждого раза решал задачу заново, и т.д. Выполнил 300 таких итераций, за которые сетка разрослась с 44 до 1438 элементов.
В итоге для 10 кратного различия электропроводности получил ошибку 1,7%, что уже приемлемо
для интереса привожу результаты

(красная линия со звёздочками - это плотность катодного тока, синяя - соответственно - анодного)

правильно ли я понимаю что для заданной точности уменьшить количество элементов модели уже нельзя?
всё ли я делаю правильно?

[Munin]

Andrey_Kireew в сообщении #1065066 писал(а):

правильно ли я понимаю что для заданной точности уменьшить количество элементов модели уже нельзя?

Может быть, можно, если уменьшать их везде в одинаковое число раз, то есть укрупнять треугольники из двух - один, как крупные, так и мелкие.

Надо попробовать.

И всё-таки, если задачу ставил
- заказчик - надо поменять проводник, чтобы не было таких особенностей;
- вы сами - стоит заняться чем-то другим;
- научный руководитель - вот тут надо идти и спрашивать, как аналитически устроены такие особенности, и как их следует численно рассчитывать.

[Andrey_Kireew]

вообще как я понял из наблюдений пересчёт задачи мало влияет на ошибки треугольников, т.е. разбиваем самый плохой треугольник, пересчитываем - ошибки в остальных почти не меняются, поэтому я и разбивал их по одному а не группами, так хоть и дольше, но количество элементов минимально

насчёт укрупнения одного из 2-х - этот путь представляется трудноосуществимым, просто так выбрасывать можно только трёхвалентные узлы, а таких в сетке почти нет,

регуляризацию сетки я использую, но она мало что даёт,
можно попробовать двигать сами узлы, лежащие не на границе, но это уже тема отдельного исследования

у меня всё же остался вопрос, если я аппроксимирую исходную геометрию задачи прямоугольной сеткой, как на рисунке

то получу ли я для неё точное решение с помощью МКР?

отвечая на второй вопрос - это элемент моего научного исследования, задачу в таком виде я поставил чтобы иметь представления о верхних границах погрешностей (это не конкретная геометрия, а один их наихудших вариантов)

[Munin]

Andrey_Kireew в сообщении #1065131 писал(а):

у меня всё же остался вопрос, если я аппроксимирую исходную геометрию задачи прямоугольной сеткой, как на рисунке
Изображение
то получу ли я для неё точное решение с помощью МКР?

Нет, конечно! У вас же снова сильное огрубление той области, в которой возникает особенность. А её надо рассчитывать как можно более точно.

Andrey_Kireew в сообщении #1065131 писал(а):

отвечая на второй вопрос - это элемент моего научного исследования, задачу в таком виде я поставил чтобы иметь представления о верхних границах погрешностей (это не конкретная геометрия, а один их наихудших вариантов)

Тогда вам надо где-то почитать теорию на эту тему. Научрука спросите, если он у вас есть. Я даже ключевых слов толком не знаю, кроме "особенность" и "концентратор напряжений". Но это хорошо известная пакость: есть задачи, которые плохо считаются численно (портят всю погрешность), и именно за счёт таких вот точек или мест.

[мат-ламер]

Andrey_Kireew
Рекомендую посмотреть - Марчук, Агошков. Введение в проекционно-сеточные методы. Конкретно пар.3.15 - Проекционно-сеточный метод с применением сингулярных функций (стр.200). Так как раз про задачи с особенностями как у вас. И оценки погрешностей есть.

[Andrey_Kireew]

Большое спасибо! книгу скачал, буду изучить
в целом, благодаря Вашей помощи, для меня многое стало проясняться,
думаю дальше разберусь