Вероятность. Геометрический подход.

[r.t.w.z]

В выпуклом $n$ угольнике ($\ge 4$) случайным образом выбираются две диагонали.
Чему равна вероятность того, что они пересекутся внутри $n$- угольника?
Я так понимаю, что тут скорее всего пойдет речь об отношение площадей фигур.
Допустим взяли мы одну вершину, она соединена с $n-3$ вершинами $n-3$ диагоналями.
Возьмем другую вершину, соседнюю, например, она будет в большинстве случаев пересекаться с соседней диагональю внутри, как мне кажется.
Но это гиблый подход, наверное, подскажите, пожалуйста, идею!!!

[Munin]

r.t.w.z в сообщении #1064073 писал(а):

Я так понимаю, что тут скорее всего пойдет речь об отношение площадей фигур.

Нет, речь пойдёт о выборе двух пар натуральных чисел, так чтобы они "пересекались" в порядке $a_1<b_1<a_2<b_2.$

[ewert]

Только не натуральных, а вычетов (у которых даже и неравенств-то нету). Соотв., надо вообще не про числа, а просто про вершины.

r.t.w.z в сообщении #1064073 писал(а):

Но это гиблый подход,

Не подход гиблый, а интерпретация условия элементарно неверная. Естественно, это не геометрическая вероятность, а чисто комбинаторная.

[provincialka]

Это известная задача, в ней есть один симпатичный приемчик.

[r.t.w.z]

provincialka в сообщении #1064121 писал(а):

Это известная задача, в ней есть один симпатичный приемчик.

А что за приемчик, подскажите, пожалуйста!

-- 18.10.2015, 23:27 --

Спасибо!
Можно так начать? Пронумеруем вершины. Пусть вершина, из которой исходит одна диагональ будет иметь номер $1$. Вторая вершина этой же диагонали будет иметь номер $k$, причем $k\leqslant n-1$. Путь вторая диагональ имеет вершины с номерами $l$ и $s$. Для определенности, пусть будет меньшим номер $s$.
Тогда нужно найти вероятность того, что $1<s<k<l\leqslant n$

Тут нужно разбивать на случаи $n$ -- четно, $n$ -- нечетно?

[provincialka]

Ну... это же нельзя... Давайте так... Подумайте, как можно задать две диагонали? Начните с задания их вершин.

Кстати, в той формулировке, которую знаю я, диагонали не имеют общих вершин. Но можно, наверное, "допилить" и до вашего случая.

[ewert]

provincialka в сообщении #1064143 писал(а):

Но можно, наверное, "допилить" и до вашего случая.

Естественно, можно. Но это будет уже не приёмчик, придётся считать комбинации честно.

r.t.w.z в сообщении #1064132 писал(а):

Пронумеруем вершины.

Не пронумеруем. Если вершин эн, то сколько вообще там диагоналей?... Это -- достаточно стандартная комбинаторная подзадачка.

[provincialka]

ewert в сообщении #1064149 писал(а):

Но это будет уже не приёмчик, придётся считать комбинации честно.

У меня осталась слабая надежда, что условие все-таки было другое, про диагонали с несовпадающими концами... Та задачка красивее.

Впрочем, идея утром деньги -- вечером стулья "сначала вершины -- потом диагонали" все равно плодотворная. Иначе организовать перебор всех случаев трудновато.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1064156 писал(а):

Та задачка красивее.

Это кому как. Отвечающему -- красивее отвечать (если догадается). А вот вопрошающему -- зануднее вопрошать.

В общем, наиболее разумной мне кажется такая последовательность выдачи в боевой обстановке: сперва предложить вариант с возможными совпадениями, а потом -- без.

[Neos]

Всего диагоналей $N=C^{2}_n - n$
Всегда можно провести $N_1=n-3$ непересекающихся диагоналей
Оставшаяся группа $N_2 = N - N_1 $
Благоприятное событие будет заключаться в выборе одной диагонали из первой группы, и второй диагонали из второй. Т.е.
$P=\frac{N_1 N_2}{N^2}$
кажется так ...
Если выбранная диагональ исключается, то
$P=\frac{N_1 N_2}{N (N-1)}$

[Brukvalub]

Нельзя ли из пары пересекающихся диагоналей получить пару не пересекающихся, и наоборот?

[r.t.w.z]

ewert в сообщении #1064149 писал(а):

Не пронумеруем. Если вершин эн, то сколько вообще там диагоналей?... Это -- достаточно стандартная комбинаторная подзадачка.

provincialka в сообщении #1064143 писал(а):

Ну... это же нельзя... Давайте так... Подумайте, как можно задать две диагонали? Начните с задания их вершин.

Кстати, в той формулировке, которую знаю я, диагонали не имеют общих вершин. Но можно, наверное, "допилить" и до вашего случая.

Количество диагоналей $d= \frac{n^2-3n}{2}.\,$

Ну хорошо, пусть вершины $a_1,a_2,a_3,....,a_n$

Диагональ — это отрезок, соединяющий две не смежные вершины

[ewert]

Neos в сообщении #1064164 писал(а):

Всего диагоналей $N=C^{2}_n - n$

Это правда.

Neos в сообщении #1064164 писал(а):

Всегда можно провести $N_1=n-3$ непересекающихся диагоналей

А это тупик. Призадумайтесь для начала над другим: если диагонали пересекаются внутри, то их вершины -- что?...

-- Пн окт 19, 2015 01:43:51 --

Brukvalub в сообщении #1064167 писал(а):

Нельзя ли из пары пересекающихся диагоналей получить пару не пересекающихся, и наоборот?

Нельзя. Причём дважды нельзя.

[Neos]

ewert, $N_1$ - максимальное число непересекающихся диагоналей. Если это множество построено, то любая следующая диагональ уже будет пересекаться. Я не рассматриваю порядок вершин. При этом подходе он не нужен.

[ewert]

Neos в сообщении #1064188 писал(а):

$N_1$ - максимальное число непересекающихся диагоналей.

Чего-то шибко уж оно мало. И, главное, заметьте: непересекающихся диагоналей -- вообще не бывает. В принципе. Бывают лишь непересекающиеся пары