Вероятность. Геометрический подход.

[Neos]

ewert в сообщении #1064192 писал(а):

главное, заметьте: непересекающихся диагоналей -- вообще не бывает.

Все диагонали, выходящие из одной вершины не пересекаются.

[ewert]

Neos в сообщении #1064201 писал(а):

диагонали, выходящие из одной вершины

А кто их заставляет это делать?...

Это тупик.

[r.t.w.z]

Neos в сообщении #1064201 писал(а):

Все диагонали, выходящие из одной вершины не пересекаются.

А разве эта одна вершина не есть точка пересечения?

P.S. Что-то как-то не очень понял -- в какую сторону думать по задаче в стартпосте(

[ewert]

r.t.w.z в сообщении #1064205 писал(а):

в какую сторону думать по задаче в стартпосте

В сторону подсчёта числителя и знаменателя. Про знаменатель Neos Вам уже намекнул (остался лишь ещё один очевидный шажок). Про числитель я намекнул Neos, ну а заодно и Вам.

[Neos]

r.t.w.z в сообщении #1064205 писал(а):

А разве эта одна вершина не есть точка пересечения?

У вас в условии

r.t.w.z в сообщении #1064073 писал(а):

Чему равна вероятность того, что они пересекутся внутри $n$- угольника?

Можно, наверное, рассматривать пары диагоналей. Я выбрал аналог задачи : "Плоская фигура разбита на две части. Найти вероятность того, что две случайные точки попадут в разные области." (С поправкой на дискретность)

-- 19.10.2015, 01:51 --

Возможно, решение еще проще. Т.к. первая диагональ выбирается произвольно, и может быть любой, а множество $N_1$ формируется после выбора, этот выбор ни на что не влияет.
и $P=\frac{N_2}{N-1}$

[r.t.w.z]

ewert в сообщении #1064179 писал(а):

А это тупик. Призадумайтесь для начала над другим: если диагонали пересекаются внутри, то их вершины -- что?...

Вершины двух диагоналей должны идти "через одну" (то есть вершины диагонали $d_1$ лежат по разную сторону от $d_2$).
Это я давно понял, но как это использовать -- не очевидно.

[ewert]

r.t.w.z в сообщении #1064224 писал(а):

(то есть вершины диагонали $d_1$ лежат по разную сторону от $d_2$).

Дело сперва не в том, что "через одну", а в том, что они попросту разные. Вот и переберите все четвёрки, а потом отберите для каждой из них варианты, в которых отрезки именно пересекаются (этих вариантов окажется, мягко говоря, немного).

[r.t.w.z]

$a_1<b_1<a_2<b_2.$ (благоприятный исход)

$a_2<b_1<a_1<b_2.$ (благоприятный исход)

$a_1<b_2<a_2<b_1.$ (благоприятный исход)

$a_2<b_2<a_1<b_1.$ (благоприятный исход)

$a_1<a_2<b_1<b_2.$ (неблагоприятный исход)

$a_2<a_1<b_1<b_2.$ (неблагоприятный исход)

$a_1<a_2<b_2<b_1.$ (неблагоприятный исход)

$a_2<a_1<b_2<b_1.$ (неблагоприятный исход)

$0,5$

Но не так же?

[ewert]

r.t.w.z в сообщении #1064241 писал(а):

$a_1<b_1<a_2<b_2.$ (благоприятный исход)

Это бессмысленно. Никаких неравенств нет, т.к. позиции -- закольцованы.

[provincialka]

r.t.w.z
Вы все-таки используйте наши советы! Вот, например, вы хотите построить две диагонали, у которых нет общих вершин. То есть всего нужны 4 вершины. Как можно рассуждать?

1) Выбрать 2 вершины, потом еще две. По разные стороны от первых... Много случаев надо рассматривать...
2) Выбрать сразу все 4 вершины, потом их соединять. Как их можно соединить? Какие соединения нам подходят?

[r.t.w.z]

provincialka в сообщении #1064294 писал(а):

r.t.w.z
Вы все-таки используйте наши советы! Вот, например, вы хотите построить две диагонали, у которых нет общих вершин. То есть всего нужны 4 вершины. Как можно рассуждать?

1) Выбрать 2 вершины, потом еще две. По разные стороны от первых... Много случаев надо рассматривать...
2) Выбрать сразу все 4 вершины, потом их соединять. Как их можно соединить? Какие соединения нам подходят?

1) Выбрали 2 вершины $a_1$ и $a_2$ для одной диагонали. Поставили где-то третью $b_1$ для второй диагонали. Вероятность, что четвертая будет по другую сторону от первых двух будет равна частному количества вершин между $a_1$ и $a_2$ (среди которых нет $b_1$) к общему числу возможных вершин $n-3$. Вот только числитель данной дроби пока однозначно определить у меня не получается.

С другой стороны. Пусть выбрали $a_1$ и $a_2$. Остальные вершины $b_1,b_2,...,b_{n-2}$

Допустим с одной стороны между $a_1$ и $a_2$ будет $k$ вершин, тогда с другой стороны $n-k-2$.

Выбираем, например, $b_1$ среди $k$ вершин. Ее можно соединять со всеми $n-k-2$ вершинами, а точно также будет для остальных $k$ вершин.

Вариантов будет $k(n-k-2)$. Но $k$ мы не знаем, каждый раз оно дает разные случаи, потому $\sum\limits_{k=1}^{n-3}k(n-k-2)$

Вычислим сумму, поделим на $n-2$, получим ответ. Верно?

[12d3]

r.t.w.z в сообщении #1064298 писал(а):

1) Выбрали 2 вершины $a_1$ и $a_2$ для одной диагонали.

provincialka намекала, что решать, следуя пункту два в ее списке, куда проще.
Вот мы выбрали случайные четыре вершины. Сколькими способами можно провести между этими четырьмя вершинами две пересекающиеся диагонали? Зависит ли это количество способов от того, есть ли среди выбранных вершин смежные или нет?

[r.t.w.z]

1 способом. А вероятность 1/3?

[ewert]

r.t.w.z в сообщении #1064304 писал(а):

А вероятность 1/3?

А почему не 1/7?

[r.t.w.z]

Потому как всего 3 способа провести две диагонали различным образом. Это неверно?