Задача по теории полугрупп

[Ilyateoriyapolugrupp]

Здравствуйте!
Недавно решал задачу по теории полугрупп и наткнулся на следующий вопрос:
Пусть $S$ - моноид, $a, b, c$ - элементы $S$, причём $a=bc$ и существует обратный к $a$.
Может ли получиться так, что либо к $b$, либо к $c$ нет обратного элемента?
Например, понятно, что обязательно будет существовать правый обратный к $b$ и левый обратный к $c$, так как
$aa^{-1} = b(ca^{-1}) = e$ и $a^{-1}a = (a^{-1}b)c = e$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

Ilyateoriyapolugrupp
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Nemiroff]

Если моноид конечный, то $ab=e \Rightarrow ba=e$. Если нет, то нет.

[Ilyateoriyapolugrupp]

Можно поподробней, пожалуйста. Как вы получили это утверждение?

-- 30.09.2015, 08:29 --

И почему в бесконечном это не так?

[Nemiroff]

Ilyateoriyapolugrupp в сообщении #1057796 писал(а):

Можно поподробней, пожалуйста. Как вы получили это утверждение?

Ну вы наверное можете показать, что если левая и правая единицы существуют, то они равны. Допустим $ab=e$. Что можно сказать о функции $f(x)=xa$, если моноид конечен?

Ilyateoriyapolugrupp в сообщении #1057796 писал(а):

И почему в бесконечном это не так?

Ну пример какой-то привести можно. Например сдвиг натуральных чисел влево и вправо. Если сперва сдвинуть вправо, а потом влево, то всё вернётся на место. А если наоборот, то два числа "склеятся" после сдвига влево, и потом их уже не "расклеить".

[Olivka]

Nemiroff в сообщении #1057868 писал(а):

Ну вы наверное можете показать, что если левая и правая единицы существуют, то они равны.

По определению левая и правая единицы существуют, и они равны. Зачем производить какие-то дополнительные манипуляции?

Nemiroff в сообщении #1057683 писал(а):

Если моноид конечный, то $ab=e \Rightarrow ba=e$.

Это неточно. Левый/правый обратный может и не существовать.

Nemiroff в сообщении #1057683 писал(а):

Если нет, то нет.

Это надо бы доказать. У вас же в бесконечных моноидах получается, что левые обратные не обязаны совпадать с правыми обратными (при их наличии). Всё это очень сомнительно.

Nemiroff в сообщении #1057868 писал(а):

Ну пример какой-то привести можно. Например сдвиг натуральных чисел влево и вправо. Если сперва сдвинуть вправо, а потом влево, то всё вернётся на место. А если наоборот, то два числа "склеятся" после сдвига влево, и потом их уже не "расклеить".

К сожалению я не смог разобраться и найти в этом тексте никакого примера. Можете четко и ясно объяснить, о чем здесь сказано?

[Nemiroff]

Olivka в сообщении #1058431 писал(а):

Зачем производить какие-то дополнительные манипуляции?

Olivka в сообщении #1058431 писал(а):

Это неточно.

Olivka в сообщении #1058431 писал(а):

Это надо бы доказать.

Olivka в сообщении #1058431 писал(а):

Можете четко и ясно объяснить, о чем здесь сказано?

Вам могу только посоветовать подумать.

[Olivka]

Nemiroff, условие насчет конечности моноида объяснить можете?

[Olivka]

Olivka в сообщении #1058431 писал(а):

Nemiroff в сообщении #1057683 писал(а):

Если моноид конечный, то $ab=e \Rightarrow ba=e$.

Это неточно. Левый/правый обратный может и не существовать.

Это, кстати, точное утверждение. Я немного поспешил, так получилось.

Ilyateoriyapolugrupp в сообщении #1057796 писал(а):

И почему в бесконечном это не так?

В бесконечном случае как раз существование правого обратного не влечет существование левого. И наоборот тоже не влечёт.