2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение22.09.2015, 17:50 


03/06/12
2745
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, возникла такая ситуация.
Задача. Назовем группы $G_1$ и $G_2$ антигомоморфными, если существует биекция $f:G_1 \mapsto G_2$ такая, что $f(ab)=f(b)f(a)$ для всех $a,\,b \in G_1$. Докажите, что антиизоморфные группы изоморфны.
При взгляде на формулу $f$ у меня сразу же опустились руки: во всех виденных мной определениях изоморфизма порядок элементов сохраняется, в то время как ни крути формулу задачи, ИМХО, не будет совпадения с определением. И как здесь рассуждать? Эта задача про изоморфизм, но там есть еще подобная задача, но пока не знаю обозначение одной группы, сейчас поищу, может, и решу самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение22.09.2015, 18:09 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Как же подсказать, чтобы сразу задачу не решить... Попробуем: что можно сказать про элемент, обратный к $a b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение22.09.2015, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
INGELRII в сообщении #1055839 писал(а):
Как же подсказать, чтобы сразу задачу не решить...

Возможно, подсказать можно так: в решении не запрещается использовать композицию уже имеющегося антигомоморфизма с еще каким-нибудь, построенным самим решающим, отображением.
Кроме того, нужно не просто "смотреть на задачу опустив руки", а деятельно ее решать, прикручивая собственные построения формул и т.п. Другими словами, задачу нужно что есть силы трясти, мять и жимкать! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение22.09.2015, 19:00 


03/06/12
2745
INGELRII в сообщении #1055839 писал(а):
Попробуем: что можно сказать про элемент, обратный к $a b$?

$f((ab)^{-1}=f(a^{-1})f(b^{-1})$. Давайте определимся, что мы хотим доказать. Я воспринимаю, что нужно доказать, что $f(ab)=f(a)f(b).$ Это верно?

Я понял: я не то доказывал, совсем не то. Меня еще сбил с толку вот этот отрывок из книги Куроша Теория групп:
Изображение
там говорится, что а
Я бы сам еще долго не понял, меня модератор натолкнул. В этой задаче требуется доказать не то, что всякое отображение, указанное в задаче, есть изоморфизм, нет. В этой задача требуется доказать существование такого биективного отображения первой группы на вторую, что произведению двух элементов первой группы будет соответствовать произведение соответственных элементов ну и для обратных элементов соответственно. Определим отображение $g$ так: $g:a\mapsto(f(a))^{-1}$. Это отображение в силу биективности отображения $g$ само биективно. причем $g(ab)=(f(ab))^{-1}=(f(b)f(a))^{-1}=(f(a))^{-1}(f(b))^{-1}$. И для обратных элементов тоже будет выполняться. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.09.2015, 19:05 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение23.09.2015, 17:08 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 21:26 
Аватара пользователя


30/08/15

87
в активном поиске
И в вашем отрывке из книги нет ничего про биекцию. Вы такое определение сами придумали? Возражаю. Продажная Википедия также возражает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 21:46 


20/03/14
12041
 !  Olivka
Человек, имеющий такие возражения, не имеет морального права и оснований называть Википедию продажной. Предупреждение за неуместное навешивание ярлыков.
post1055927.html#p1055927 post1056092.html#p1056092

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 21:56 
Аватара пользователя


30/08/15

87
в активном поиске
Lia, какие возражения? Давайте поговорим о моих возражениях. Автор этой темы в первом сообщении заменил отображение биекцией, получилось неверно. Я на это указал. Какая здесь может быть связь с моральным правом я не вникаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 22:03 


20/03/14
12041
 !  Olivka
Замечание за оффтоп и препирательство с модератором в не предназначенном для этого учебном разделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 22:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Olivka в сообщении #1056096 писал(а):
Давайте поговорим о моих возражениях. Автор этой темы в первом сообщении заменил отображение биекцией, получилось неверно.
Никто ничего не менял. Приводится определение антигомоморфизма, потом же дан антиизоморфизм, понятно как связанный с первым и понятно почему биективный. Все тут это представляли, кроме вас.

-- Чт сен 24, 2015 00:19:32 --

Sinoid
У вас всё верно, только не понял про обратные в конце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 22:29 
Аватара пользователя


30/08/15

87
в активном поиске
arseniiv в сообщении #1056102 писал(а):
Приводится определение антигомоморфизма

Sinoid в сообщении #1055838 писал(а):
Назовем группы $G_1$ и $G_2$ антигомоморфными, если существует биекция $f:G_1 \mapsto G_2$ такая, что $f(ab)=f(b)f(a)$ для всех $a,\,b \in G_1$.

Это неверное определение антигомоморфизма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 22:42 


20/03/14
12041
arseniiv в сообщении #1056102 писал(а):
только не понял про обратные в конце.
Sinoid считает, что нужно доказывать и то, что обратное отображение является гомоморфизмом, тогда как для биективного гомоморфизма это необязательно, это обеспечивается автоматически (что можно показать в общем случае).

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 23:31 


03/06/12
2745
Sinoid в сообщении #1055850 писал(а):
силу биективности отображения $g$ само биективно

Ошибка: конечно, нужно в силу биективности отображения $f$ само биективно.
Olivka в сообщении #1056092 писал(а):
И в вашем отрывке из книги нет ничего про биекцию

Да, но зато про биекцию есть в задачнике Каролинского, Новикова.
Olivka в сообщении #1056092 писал(а):
Продажная Википедия также возражает.

Так мне задачи решать или по Википедии шариться без особой в том нужды?
arseniiv в сообщении #1056102 писал(а):
только не понял про обратные в конце.

Я имел в виду, что $g(a^{-1})=(g(a))^{-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок множителей при гомоморфизме
Сообщение23.09.2015, 23:41 
Аватара пользователя


30/08/15

87
в активном поиске
Sinoid, я нашел и скачал этот задачник. Думаю, что скорее всего там просто опечатка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group