Порядок множителей при гомоморфизме

[Sinoid]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, возникла такая ситуация.
Задача. Назовем группы $G_1$ и $G_2$ антигомоморфными, если существует биекция $f:G_1 \mapsto G_2$ такая, что $f(ab)=f(b)f(a)$ для всех $a,\,b \in G_1$. Докажите, что антиизоморфные группы изоморфны.
При взгляде на формулу $f$ у меня сразу же опустились руки: во всех виденных мной определениях изоморфизма порядок элементов сохраняется, в то время как ни крути формулу задачи, ИМХО, не будет совпадения с определением. И как здесь рассуждать? Эта задача про изоморфизм, но там есть еще подобная задача, но пока не знаю обозначение одной группы, сейчас поищу, может, и решу самостоятельно.

[INGELRII]

Как же подсказать, чтобы сразу задачу не решить... Попробуем: что можно сказать про элемент, обратный к $a b$?

[Brukvalub]

INGELRII в сообщении #1055839 писал(а):

Как же подсказать, чтобы сразу задачу не решить...

Возможно, подсказать можно так: в решении не запрещается использовать композицию уже имеющегося антигомоморфизма с еще каким-нибудь, построенным самим решающим, отображением.
Кроме того, нужно не просто "смотреть на задачу опустив руки", а деятельно ее решать, прикручивая собственные построения формул и т.п. Другими словами, задачу нужно что есть силы трясти, мять и жимкать!

[Sinoid]

INGELRII в сообщении #1055839 писал(а):

Попробуем: что можно сказать про элемент, обратный к $a b$?

$f((ab)^{-1}=f(a^{-1})f(b^{-1})$. Давайте определимся, что мы хотим доказать. Я воспринимаю, что нужно доказать, что $f(ab)=f(a)f(b).$ Это верно?

Я понял: я не то доказывал, совсем не то. Меня еще сбил с толку вот этот отрывок из книги Куроша Теория групп:

там говорится, что а
Я бы сам еще долго не понял, меня модератор натолкнул. В этой задаче требуется доказать не то, что всякое отображение, указанное в задаче, есть изоморфизм, нет. В этой задача требуется доказать существование такого биективного отображения первой группы на вторую, что произведению двух элементов первой группы будет соответствовать произведение соответственных элементов ну и для обратных элементов соответственно. Определим отображение $g$ так: $g:a\mapsto(f(a))^{-1}$. Это отображение в силу биективности отображения $g$ само биективно. причем $g(ab)=(f(ab))^{-1}=(f(b)f(a))^{-1}=(f(a))^{-1}(f(b))^{-1}$. И для обратных элементов тоже будет выполняться. Верно?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Olivka]

И в вашем отрывке из книги нет ничего про биекцию. Вы такое определение сами придумали? Возражаю. Продажная Википедия также возражает.

[Lia]

Olivka
Человек, имеющий такие возражения, не имеет морального права и оснований называть Википедию продажной. Предупреждение за неуместное навешивание ярлыков.
post1055927.html#p1055927 post1056092.html#p1056092

[Olivka]

Lia, какие возражения? Давайте поговорим о моих возражениях. Автор этой темы в первом сообщении заменил отображение биекцией, получилось неверно. Я на это указал. Какая здесь может быть связь с моральным правом я не вникаю.

[Lia]

Olivka
Замечание за оффтоп и препирательство с модератором в не предназначенном для этого учебном разделе.

[arseniiv]

Olivka в сообщении #1056096 писал(а):

Давайте поговорим о моих возражениях. Автор этой темы в первом сообщении заменил отображение биекцией, получилось неверно.

Никто ничего не менял. Приводится определение антигомоморфизма, потом же дан антиизоморфизм, понятно как связанный с первым и понятно почему биективный. Все тут это представляли, кроме вас.

-- Чт сен 24, 2015 00:19:32 --

Sinoid
У вас всё верно, только не понял про обратные в конце.

[Olivka]

arseniiv в сообщении #1056102 писал(а):

Приводится определение антигомоморфизма

Sinoid в сообщении #1055838 писал(а):

Назовем группы $G_1$ и $G_2$ антигомоморфными, если существует биекция $f:G_1 \mapsto G_2$ такая, что $f(ab)=f(b)f(a)$ для всех $a,\,b \in G_1$.

Это неверное определение антигомоморфизма.

[Lia]

arseniiv в сообщении #1056102 писал(а):

только не понял про обратные в конце.

Sinoid считает, что нужно доказывать и то, что обратное отображение является гомоморфизмом, тогда как для биективного гомоморфизма это необязательно, это обеспечивается автоматически (что можно показать в общем случае).

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1055850 писал(а):

силу биективности отображения $g$ само биективно

Ошибка: конечно, нужно в силу биективности отображения $f$ само биективно.

Olivka в сообщении #1056092 писал(а):

И в вашем отрывке из книги нет ничего про биекцию

Да, но зато про биекцию есть в задачнике Каролинского, Новикова.

Olivka в сообщении #1056092 писал(а):

Продажная Википедия также возражает.

Так мне задачи решать или по Википедии шариться без особой в том нужды?

arseniiv в сообщении #1056102 писал(а):

только не понял про обратные в конце.

Я имел в виду, что $g(a^{-1})=(g(a))^{-1}$

[Olivka]

Sinoid, я нашел и скачал этот задачник. Думаю, что скорее всего там просто опечатка.