Сравнение множеств

[Anixx]

Материала много, поэтому буду излагать по частям.

Как известно, бесконечные множества на текущий момент обычно сравнивают по Кантору. То есть, если можно установить взаимное соответствие между элементами одного множества и другого, то они считаются равномощными.

Мне этот подход не очень нравится. Например, по нему выходит, что количество четных чисел равно количеству целых. Хотя одно множество - подмножество другого. Аналогично, выходит, что количество неотрицательных целых чисел (с нулем) равно количеству положительных целых. Добавление к бесконечному множеству одного элемента или удаление, никак не влияет на его мощность.

Поэтому, пришла идея сравнить множества другим способом. Который бы учитывал плотность множеств на числовой оси. С такими свойствами:

* Количество множества состоит из стандартной и нестандартной частей. Стандартная часть - это просто действительное число. Нестандартная часть конечных множеств равна нулю.

* Если множество конечно, то его количество равно числу элементов, которое оно содержит.

* Количество всех целых чисел мы обозначим $2\tau$. Это чисто нестандартное число (стандартная часть равна нулю).

* Если два множества различаются только наличием или отсутствием конечного количества элементов, то нестандартные части их количеств равны.

* Если два множества различаются только позициями конечного количества элементов, то их количества равны

* Если два множества не пересекаются, количество их объединения равно сумме количеств каждого

* Количества множеств, симметричных относительно нуля, равны.

* Количества равномерно распределенных множеств пропорциональны их плотности

Имея такие свойства, легко видеть, что количество натуральных чисел равно $\tau-1/2$. Обозначим его $\omega_-$. Его стандартная часть равна $-1/2$. Количество неотрицательных целых чисел равно $\tau+1/2=\omega_-+1$. Обозначим его $\omega_+$.

Некоторые множества и их количества:

* Количество четных чисел равно количеству нечетных равно $\tau$

* Количество положительных нечетных чисел $\tau/2$

* Количество положительных четных чисел $\tau/2-1/2$, неотрицательных четных $\tau/2+1/2$

* Количество комплексных целых чисел (гауссовых целых), упорядоченных лексикографически $4\tau^2$

[Anton_Peplov]

Anixx в сообщении #1055045 писал(а):

Если два множества различаются только позициями конечного количества элементов, то их количества равны

Что такое "позиция элемента в множестве"? В понятия множества не входит порядок элементов и возможность их повторения. Для таких вещей существуют другие понятия - кортеж (для конечного числа элементов) и последовательность (для бесконечного). Например, $\{01010101\}$ и $\{1110\}$ - разные кортежи, но множество элементов у них одно и то же - $\{0,1\}$.

[Anixx]

Anton_Peplov в сообщении #1055050 писал(а):

Anixx в сообщении #1055045 писал(а):

Если два множества различаются только позициями конечного количества элементов, то их количества равны

Что такое "позиция элемента в множестве"? В понятия множества не входит порядок элементов и возможность их повторения. Для таких вещей существуют другие понятия - кортеж (для конечного числа элементов) и последовательность (для бесконечного). Например, $\{01010101\}$ и $\{1110\}$ - разные кортежи, но множество элементов у них одно и то же - $\{0,1\}$.

Ок, не очень хорошо выразился. Позиция элемента на числовой прямой/комплексной плоскости. Данная предложенная мера (количество) - только для числовых множеств.

[Anton_Peplov]

Anixx в сообщении #1055045 писал(а):

Количества равномерно распределенных множеств пропорциональны их плотности

Насколько я помню, плотностью множества чисел $E$ на прямой называется предел

$$\lim\limits_{m(D) \to \infty}^{}\frac{m(D \cap E)}{m(D)}$$

, где $D$ - произвольный отрезок вещественной прямой, $m$ - каноническая лебегова мера.
Напомните мне, пожалуйста, прямо по этому определению, чему равна плотность множества всех четных чисел.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1055050 писал(а):

Например, $\{01010101\}$ и $\{1110\}$ - разные кортежи, но множество элементов у них одно и то же - $\{0,1\}$.

Извините, что снова влезаю с оффтопом, но кортежи, как правило, ведь в круглых скобках всё-таки пишутся? Понятно, что если прям рядом написано «кортежи», особые обозначения не обязательны, но…

Anixx
Есть куча множеств с элементами — не числами. На которых ни естественного порядка не задано, ни операций каких, ни метрики, ни линейной структуры, ни топологии (у $\mathbb R$, ясен пень, всё это есть; а у $\mathbb C$ тоже есть, но кроме порядка). Что с ними прикажете делать?

[Anixx]

Anton_Peplov писал(а):

Напомните мне, пожалуйста, прямо по этому определению, чему равна плотность множества всех четных чисел.

Я под плотностью имел в виду величину, обратную расстоянию между элементами.

-- 20.09.2015, 00:18 --

arseniiv в сообщении #1055057 писал(а):

Есть куча множеств с элементами — не числами. На которых ни естественного порядка не задано, ни операций каких, ни метрики, ни линейной структуры, ни топологии (у $\mathbb R$, ясен пень, всё это есть; а у $\mathbb C$ тоже есть, но кроме порядка). Что с ними прикажете делать?

Для данной меры, которую я тут предлагаю, нужна хотя бы норма или (частичный) порядок.

[Xaositect]

Пока вроде бы из Ваших свойств можно получить только "количество" для множеств, которые (кроме конечного числа элементов) вложены в какую-то сетку на плоскости. Но в этом случае можно использовать асимптотику количества точек в квадрате со стороной $2r$ с центром в начале координат - это будет какой-то полином, достаточно хорошо связанный с Вашим количеством - у целых чисел будет $2r + 1$, у натуральных $r$, и вообще с заменой Вашего $\tau$ на $r + 1/2$ будет то, что надо.

А вот что насчет множества всех рациональных или иррациональных чисел?

[Anixx]

Цитата:

А вот что насчет множества всех рациональных или иррациональных чисел?

У меня есть подозрение, что множество действительных чисел на полуоткрытом промежутке длиной $1$ (например, $[0,1)$ ) есть $\omega_+^{\omega_-}$. Но это пока только предположение. Тогда количество всех действительных есть $2\tau\omega_+^{\omega_-}+1$

[Xaositect]

Ну, учитывая то, что степени для своих конструктов Вы еще не определяли, это может быть и так.
Попробуйте каким-нибудь разумным образом определить степень и посмотрим.

[Anton_Peplov]

Чему равно количество всех натуральных степеней двойки? $2, 2^2, 2^3...$

[Anixx]

Моей следующей идеей было вот что.

Как известно, в математике часто встречаются расходящиеся ряды. Их суммируют по различным методам, например, по Раманужану или регуляризацией зета-функции. Моей мыслью было найти алгебраицескую роль, которую играют обобщенные суммы.

В частности, известно, что обобщенная сумма по Раманужану

$\sum_{n\ge1}^{\Re}1=-1/2$

Я предположил, что сумма расходящегося ряда как раз может быть выражена нестандартным числом. А обобщенная сумма (в частности, по Раманужану) является стандартной частью суммы.

Таким образом,

$$ (1+1+1+1+...)=\sum_{n\ge1}1=\omega_-$$

$$(1+2+3+4+...)=-\frac{\omega_{\pm}^{2}}{2} $$

Тут плюс или минус в зависимости от того, интерпретируется ли сумма как сумма от 1 или от 0. Если от 1, то

$$\sum_{n\ge1} n= -\frac{\omega_{-}^{2}}{2}$$

А если от нуля, то

$$\sum_{n\ge0} (n+1)= -\frac{\omega_{+}^{2}}{2}$$

Учитывая, что $\omega_{+}^{2}-\omega_{-}^{2}=(\tau^2+\tau+1/4)-(\tau^2-\tau+1/4)=2\tau$,
стандартная часть этих сумм равна, и составляет $-1/12$

------------------

Отвечая на вопрос про степени двойки, стандартная часть их количества будет равна сумее Раманужана ряда, элементы которого является функцией членства данной последовательности. То есть $f(n)=1$ если $n$ - степень двойки и $0$ если нет.

Другими словами, пусть функция $f(n)=1$ если $n$ - степень двойки и $0$ если нет. Тогда стандартная часть количества степеней двойки равна

$$\operatorname {st} \sum_{n\ge1} f(n)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Delta^{k-1}f(n)}{k!}(-n)_k$$

Где функция $(x)_k=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-k+1)}$ - падающий факториал (в точках, где числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, надо брать предел отношения).

[Xaositect]

Anixx в сообщении #1055067 писал(а):

$$(1+2+3+4+...)=-\frac{\omega_-^{2}}{2}$$

а стандартная часть этой суммы равна -1/12

Но ведь тут же не получается $-\frac{1}{12}$. Ведь у Вас же $\omega_{-} = \tau - \frac12$, тогда получается что $-\frac{\omega_-^{2}}{2} = -\frac{\tau^2}{2} + \frac{\tau}{2} - \frac18$.

[Anixx]

Xaositect в сообщении #1055075 писал(а):

Anixx в сообщении #1055067 писал(а):

$$(1+2+3+4+...)=-\frac{\omega_-^{2}}{2}$$

а стандартная часть этой суммы равна -1/12

Но ведь тут же не получается $-\frac{1}{12}$. Ведь у Вас же $\omega_{-} = \tau - \frac12$, тогда получается что $-\frac{\omega_-^{2}}{2} = -\frac{\tau^2}{2} + \frac{\tau}{2} - \frac18$.

$\tau^2$ имеет стандартную часть $-1/12$. Получаем $1/24+0-1/8=-1/12$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Anixx

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Оформите все Ваши формулы в теме, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»